---

Step * 2 1 of Lemma filter_map_upto2


1. t' : ℤ
2. [%1] : 0 < t'
3. ∀m:ℕ
     ∀[T:Type]
       ∀f:ℕ ⟶ T. ∀P:T ⟶ 𝔹.
         ∃t:ℕ. ((↑(P (f t))) ∧ (||filter(P;map(f;upto(t)))|| = m ∈ ℤ)) 
         supposing (m + 1) ≤ ||filter(P;map(f;upto(t' - 1)))||
4. m : ℕ
5. [T] : Type
6. f : ℕ ⟶ T
7. P : T ⟶ 𝔹
8. (m + 1) ≤ ||filter(P;map(f;upto(t')))||
⊢ ∃t:ℕ. ((↑(P (f t))) ∧ (||filter(P;map(f;upto(t)))|| = m ∈ ℤ))
BY
{ Subst ⌜upto(t') ~ if t' ≤z 0 then [] else upto(t' - 1) @ [t' - 1] fi ⌝ (-1)⋅ }

1
.....equality..... 
1. t' : ℤ
2. 0 < t'
3. ∀m:ℕ
     ∀[T:Type]
       ∀f:ℕ ⟶ T. ∀P:T ⟶ 𝔹.
         ∃t:ℕ. ((↑(P (f t))) ∧ (||filter(P;map(f;upto(t)))|| = m ∈ ℤ)) 
         supposing (m + 1) ≤ ||filter(P;map(f;upto(t' - 1)))||
4. m : ℕ
5. T : Type
6. f : ℕ ⟶ T
7. P : T ⟶ 𝔹
8. (m + 1) ≤ ||filter(P;map(f;upto(t')))||
⊢ upto(t') ~ if t' ≤z 0 then [] else upto(t' - 1) @ [t' - 1] fi 

2
1. t' : ℤ
2. [%1] : 0 < t'
3. ∀m:ℕ
     ∀[T:Type]
       ∀f:ℕ ⟶ T. ∀P:T ⟶ 𝔹.
         ∃t:ℕ. ((↑(P (f t))) ∧ (||filter(P;map(f;upto(t)))|| = m ∈ ℤ)) 
         supposing (m + 1) ≤ ||filter(P;map(f;upto(t' - 1)))||
4. m : ℕ
5. [T] : Type
6. f : ℕ ⟶ T
7. P : T ⟶ 𝔹
8. (m + 1) ≤ ||filter(P;map(f;if t' ≤z 0 then [] else upto(t' - 1) @ [t' - 1] fi ))||
⊢ ∃t:ℕ. ((↑(P (f t))) ∧ (||filter(P;map(f;upto(t)))|| = m ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  t'  :  \mBbbZ{}
2.  [\%1]  :  0  <  t'
3.  \mforall{}m:\mBbbN{}
          \mforall{}[T:Type]
              \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  \mforall{}P:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
                  \mexists{}t:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}(P  (f  t)))  \mwedge{}  (||filter(P;map(f;upto(t)))||  =  m)) 
                  supposing  (m  +  1)  \mleq{}  ||filter(P;map(f;upto(t'  -  1)))||
4.  m  :  \mBbbN{}
5.  [T]  :  Type
6.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
7.  P  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
8.  (m  +  1)  \mleq{}  ||filter(P;map(f;upto(t')))||
\mvdash{}  \mexists{}t:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}(P  (f  t)))  \mwedge{}  (||filter(P;map(f;upto(t)))||  =  m))


By

---

Latex:
Subst  \mkleeneopen{}upto(t')  \msim{}  if  t'  \mleq{}z  0  then  []  else  upto(t'  -  1)  @  [t'  -  1]  fi  \mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}

---

Home Index