---

Step * 2 1 of Lemma insert-combine-sorted-by


1. T : Type
2. cmp : comparison(T)
3. ∀u,x,z:T.  (0 < cmp x u ⇒ 0 < cmp u z ⇒ 0 < cmp x z)
4. f : T ⟶ T ⟶ T
5. ∀u,x:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ ((cmp u (f x u)) = 0 ∈ ℤ))
6. u : T
7. v : T List
8. ∀x:T. (sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;v) ⇒ sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;insert-combine(cmp;f;x;v)))
9. x : T
10. sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;v)
11. (∀z∈v.0 < cmp u z)
12. (cmp x u) = 0 ∈ ℤ
13. sorted-by(λx,y. 0 < cmp x y;v)
⊢ (∀z∈v.0 < cmp (f x u) z)
BY
{ (Thin (-1) THEN RepeatFor 2 (ParallelOp -2) THEN D 2 THEN Auto THEN InstHyp [⌜u⌝;⌜f x u⌝;⌜v[i]⌝] 4⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  cmp  :  comparison(T)
3.  \mforall{}u,x,z:T.    (0  <  cmp  x  u  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  u  z  {}\mRightarrow{}  0  <  cmp  x  z)
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  \mforall{}u,x:T.    (((cmp  x  u)  =  0)  {}\mRightarrow{}  ((cmp  u  (f  x  u))  =  0))
6.  u  :  T
7.  v  :  T  List
8.  \mforall{}x:T.  (sorted-by(\mlambda{}x,y.  0  <  cmp  x  y;v)  {}\mRightarrow{}  sorted-by(\mlambda{}x,y.  0  <  cmp  x  y;insert-combine(cmp;f;x;v)))
9.  x  :  T
10.  sorted-by(\mlambda{}x,y.  0  <  cmp  x  y;v)
11.  (\mforall{}z\mmember{}v.0  <  cmp  u  z)
12.  (cmp  x  u)  =  0
13.  sorted-by(\mlambda{}x,y.  0  <  cmp  x  y;v)
\mvdash{}  (\mforall{}z\mmember{}v.0  <  cmp  (f  x  u)  z)


By

---

Latex:
(Thin  (-1)
  THEN  RepeatFor  2  (ParallelOp  -2)
  THEN  D  2
  THEN  Auto
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}u\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f  x  u\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v[i]\mkleeneclose{}]  4\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index