---

Step * 2 3 of Lemma insert-no-combine-sorted-by


1. [T] : Type
2. cmp : comparison(T)
3. ∀u,x,z:T.  ((0 ≤ (cmp x u)) ⇒ (0 ≤ (cmp u z)) ⇒ (0 ≤ (cmp x z)))
4. u : T
5. v : T List
6. ∀x:T. (sorted-by(λx,y. (0 ≤ (cmp x y));v) ⇒ sorted-by(λx,y. (0 ≤ (cmp x y));insert-no-combine(cmp;x;v)))
7. x : T
8. ¬(0 ≤ (cmp x u))
9. sorted-by(λx,y. (0 ≤ (cmp x y));[u / v])
10. sorted-by(λx,y. (0 ≤ (cmp x y));insert-no-combine(cmp;x;v))
⊢ (∀z∈insert-no-combine(cmp;x;v).0 ≤ (cmp u z))
BY
{ xxx(Thin (-1)
      THEN (RWO "sorted-by-cons" (-1) THENA Auto)
      THEN Reduce (-1)
      THEN (All (RWO "l_all_iff")
            THEN Auto
            THEN (FLemma `member-insert-no-combine` [-1] THENA Auto)
            THEN (RWO "cons_member" (-1) THENM D -1)
            THEN Auto)⋅)xxx }

1
1. T : Type
2. cmp : comparison(T)
3. ∀u,x,z:T.  ((0 ≤ (cmp x u)) ⇒ (0 ≤ (cmp u z)) ⇒ (0 ≤ (cmp x z)))
4. u : T
5. v : T List
6. ∀x:T. (sorted-by(λx,y. (0 ≤ (cmp x y));v) ⇒ sorted-by(λx,y. (0 ≤ (cmp x y));insert-no-combine(cmp;x;v)))
7. x : T
8. ¬(0 ≤ (cmp x u))
9. sorted-by(λx,y. (0 ≤ (cmp x y));v)
10. ∀z:T. ((z ∈ v) ⇒ (0 ≤ (cmp u z)))
11. z : T
12. (z ∈ insert-no-combine(cmp;x;v))
13. z = x ∈ T
⊢ 0 ≤ (cmp u z)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  cmp  :  comparison(T)
3.  \mforall{}u,x,z:T.    ((0  \mleq{}  (cmp  x  u))  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (cmp  u  z))  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (cmp  x  z)))
4.  u  :  T
5.  v  :  T  List
6.  \mforall{}x:T.  (sorted-by(\mlambda{}x,y.  (0  \mleq{}  (cmp  x  y));v)  {}\mRightarrow{}  sorted-by(\mlambda{}x,y.  (0  \mleq{}  (cmp  x  y));insert-no-combine(cm\000Cp;x;v)))
7.  x  :  T
8.  \mneg{}(0  \mleq{}  (cmp  x  u))
9.  sorted-by(\mlambda{}x,y.  (0  \mleq{}  (cmp  x  y));[u  /  v])
10.  sorted-by(\mlambda{}x,y.  (0  \mleq{}  (cmp  x  y));insert-no-combine(cmp;x;v))
\mvdash{}  (\mforall{}z\mmember{}insert-no-combine(cmp;x;v).0  \mleq{}  (cmp  u  z))


By

---

Latex:
xxx(Thin  (-1)
        THEN  (RWO  "sorted-by-cons"  (-1)  THENA  Auto)
        THEN  Reduce  (-1)
        THEN  (All  (RWO  "l\_all\_iff")
                    THEN  Auto
                    THEN  (FLemma  `member-insert-no-combine`  [-1]  THENA  Auto)
                    THEN  (RWO  "cons\_member"  (-1)  THENM  D  -1)
                    THEN  Auto)\mcdot{})xxx

---

Home Index