---

Step * of Lemma orbit-cover

∀[T:Type]
  ((∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T))
  ⇒ finite-type(T)
  ⇒ (∀f:T ⟶ T
        ∃orbits:T List List
         ((∀orbit∈orbits.0 < ||orbit||
                 ∧ no_repeats(T;orbit)
                 ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
                 ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T))))
         ∧ (∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit)))
         ∧ (∀o1∈orbits.(∀o2∈orbits.(o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2)))))
BY
{ (Auto
   THEN (InstLemma `orbit-exists` [⌜T⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Skolemize (-1) `orbit' THENA Auto)
   THEN Thin (-3)
   THEN D 3
   THEN ExRepD) }

1
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
⊢ ∃orbits:T List List
   ((∀orbit∈orbits.0 < ||orbit||
           ∧ no_repeats(T;orbit)
           ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
           ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T))))
   ∧ (∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit)))
   ∧ (∀o1∈orbits.(∀o2∈orbits.(o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[T:Type]
    ((\mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y))
    {}\mRightarrow{}  finite-type(T)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:T  {}\mrightarrow{}  T
                \mexists{}orbits:T  List  List
                  ((\mforall{}orbit\mmember{}orbits.0  <  ||orbit||
                                  \mwedge{}  no\_repeats(T;orbit)
                                  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit||.  (orbit[i]  =  (f\^{}i  orbit[0])))
                                  \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  orbit[0])))))
                  \mwedge{}  (\mforall{}a:T.  (\mexists{}orbit\mmember{}orbits.  (a  \mmember{}  orbit)))
                  \mwedge{}  (\mforall{}o1\mmember{}orbits.(\mforall{}o2\mmember{}orbits.(o1[0]  \mmember{}  o2)  {}\mRightarrow{}  o1  \msubseteq{}  o2)))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (InstLemma  `orbit-exists`  [\mkleeneopen{}T\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Skolemize  (-1)  `orbit'  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-3)
  THEN  D  3
  THEN  ExRepD)

---

Home Index