---

Step * 1 of Lemma orbit-cover


1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
⊢ ∃orbits:T List List
   ((∀orbit∈orbits.0 < ||orbit||
           ∧ no_repeats(T;orbit)
           ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
           ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T))))
   ∧ (∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit)))
   ∧ (∀o1∈orbits.(∀o2∈orbits.(o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2)))
BY
{ Assert ⌜∃orbits:T List List
           ((∀orbit∈orbits.0 < ||orbit||
                   ∧ no_repeats(T;orbit)
                   ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
                   ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T))))
           ∧ (∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
⊢ ∃orbits:T List List
   ((∀orbit∈orbits.0 < ||orbit||
           ∧ no_repeats(T;orbit)
           ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
           ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T))))
   ∧ (∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))))

2
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
9. ∃orbits:T List List
    ((∀orbit∈orbits.0 < ||orbit||
            ∧ no_repeats(T;orbit)
            ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
            ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T))))
    ∧ (∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))))
⊢ ∃orbits:T List List
   ((∀orbit∈orbits.0 < ||orbit||
           ∧ no_repeats(T;orbit)
           ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
           ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T))))
   ∧ (∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit)))
   ∧ (∀o1∈orbits.(∀o2∈orbits.(o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  f1  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T
5.  Surj(\mBbbN{}n;T;f1)
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
7.  orbit  :  a:T  {}\mrightarrow{}  (T  List)
8.  \mforall{}a:T
          (no\_repeats(T;orbit  a)
          \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit  a||.  (orbit  a[i]  =  (f\^{}i  a)))
          \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit  a)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  a)))))
\mvdash{}  \mexists{}orbits:T  List  List
      ((\mforall{}orbit\mmember{}orbits.0  <  ||orbit||
                      \mwedge{}  no\_repeats(T;orbit)
                      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit||.  (orbit[i]  =  (f\^{}i  orbit[0])))
                      \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  orbit[0])))))
      \mwedge{}  (\mforall{}a:T.  (\mexists{}orbit\mmember{}orbits.  (a  \mmember{}  orbit)))
      \mwedge{}  (\mforall{}o1\mmember{}orbits.(\mforall{}o2\mmember{}orbits.(o1[0]  \mmember{}  o2)  {}\mRightarrow{}  o1  \msubseteq{}  o2)))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}orbits:T  List  List
                  ((\mforall{}orbit\mmember{}orbits.0  <  ||orbit||
                                  \mwedge{}  no\_repeats(T;orbit)
                                  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit||.  (orbit[i]  =  (f\^{}i  orbit[0])))
                                  \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  orbit[0])))))
                  \mwedge{}  (\mforall{}a:T.  (\mexists{}orbit\mmember{}orbits.  (a  \mmember{}  orbit))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index