---

Step * 2 1 1 1 1 of Lemma orbit-decomp2


1. T : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. Inj(T;T;f)
6. orbits : T List List
7. (∀orbit∈orbits.0 < ||orbit||
          ∧ no_repeats(T;orbit)
          ∧ (∀i:ℕ||orbit||. ((f orbit[i]) = if (i =z ||orbit|| - 1) then orbit[0] else orbit[i + 1] fi  ∈ T))
          ∧ (∀x∈orbit.∀n:ℕ. (f^n x ∈ orbit)))
8. ∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))
9. (∀o1,o2∈orbits.  l_disjoint(T;o1;o2))
10. (∀o∈orbits.orbit(T;f;o))
11. ∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))
12. ∀i:ℕ||orbits||. ∀j:ℕi.  l_disjoint(T;orbits[j];orbits[i])
13. i : ℕ
14. j : ℕ
15. i < ||orbits||
16. j < ||orbits||
17. ¬(i = j ∈ ℕ)
18. orbits[i] = orbits[j] ∈ (T List)
19. u : T
20. v : T List
21. orbits[j] = [u / v] ∈ (T List)
22. l_disjoint(T;[u / v];[u / v])
23. 0 < ||v|| + 1
⊢ False
BY
{ (Unfold `l_disjoint` -2 THEN (InstHyp [⌜u⌝] (-2)⋅ THENM D -1) THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  finite-type(T)
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  Inj(T;T;f)
6.  orbits  :  T  List  List
7.  (\mforall{}orbit\mmember{}orbits.0  <  ||orbit||
                    \mwedge{}  no\_repeats(T;orbit)
                    \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit||
                              ((f  orbit[i])  =  if  (i  =\msubz{}  ||orbit||  -  1)  then  orbit[0]  else  orbit[i  +  1]  fi  ))
                    \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}orbit.\mforall{}n:\mBbbN{}.  (f\^{}n  x  \mmember{}  orbit)))
8.  \mforall{}a:T.  (\mexists{}orbit\mmember{}orbits.  (a  \mmember{}  orbit))
9.  (\mforall{}o1,o2\mmember{}orbits.    l\_disjoint(T;o1;o2))
10.  (\mforall{}o\mmember{}orbits.orbit(T;f;o))
11.  \mforall{}a:T.  (\mexists{}orbit\mmember{}orbits.  (a  \mmember{}  orbit))
12.  \mforall{}i:\mBbbN{}||orbits||.  \mforall{}j:\mBbbN{}i.    l\_disjoint(T;orbits[j];orbits[i])
13.  i  :  \mBbbN{}
14.  j  :  \mBbbN{}
15.  i  <  ||orbits||
16.  j  <  ||orbits||
17.  \mneg{}(i  =  j)
18.  orbits[i]  =  orbits[j]
19.  u  :  T
20.  v  :  T  List
21.  orbits[j]  =  [u  /  v]
22.  l\_disjoint(T;[u  /  v];[u  /  v])
23.  0  <  ||v||  +  1
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
(Unfold  `l\_disjoint`  -2  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}u\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENM  D  -1)  THEN  Auto)

---

Home Index