---

Step * 2 1 of Lemma orbit-decomp

.....assertion..... 
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. Inj(T;T;f)
6. orbits : T List List
7. ∀orbit:T List
     ((orbit ∈ orbits)
     ⇒ (0 < ||orbit||
        ∧ no_repeats(T;orbit)
        ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
        ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T)))))
8. ∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))
9. ∀o1:T List. ((o1 ∈ orbits) ⇒ (∀o2:T List. ((o2 ∈ orbits) ⇒ (o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2)))
10. (∀o1,o2∈orbits.  o1 ⊆ o2 ∨ o2 ⊆ o1 ∨ l_disjoint(T;o1;o2))
⊢ (∀o1∈orbits.(f last(o1)) = o1[0] ∈ T)
BY
{ ((D 0 THEN Auto)
   THEN (Assert 0 < ||orbits[i]|| BY
               Auto)
   THEN (Assert (last(orbits[i]) ∈ orbits[i]) BY
               Auto)⋅
   THEN ((Assert ∃n:ℕ. (last(orbits[i]) = (f^n orbits[i][0]) ∈ T) BY
                Auto)
         THEN ExRepD
         THEN (Assert (f last(orbits[i]) ∈ orbits[i]) BY
                     (BackThruSomeHyp'
                      THEN Auto
                      THEN InstConcl [⌜n + 1⌝]⋅
                      THEN Auto
                      THEN RWO "fun_exp_add1<" 0
                      THEN Auto)))⋅) }

1
1. T : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. Inj(T;T;f)
6. orbits : T List List
7. ∀orbit:T List
     ((orbit ∈ orbits)
     ⇒ (0 < ||orbit||
        ∧ no_repeats(T;orbit)
        ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
        ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T)))))
8. ∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))
9. ∀o1:T List. ((o1 ∈ orbits) ⇒ (∀o2:T List. ((o2 ∈ orbits) ⇒ (o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2)))
10. (∀o1,o2∈orbits.  o1 ⊆ o2 ∨ o2 ⊆ o1 ∨ l_disjoint(T;o1;o2))
11. i : ℕ||orbits||
12. 0 < ||orbits[i]||
13. (last(orbits[i]) ∈ orbits[i])
14. n : ℕ
15. last(orbits[i]) = (f^n orbits[i][0]) ∈ T
16. (f last(orbits[i]) ∈ orbits[i])
⊢ (f last(orbits[i])) = orbits[i][0] ∈ T

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [T]  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  finite-type(T)
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  Inj(T;T;f)
6.  orbits  :  T  List  List
7.  \mforall{}orbit:T  List
          ((orbit  \mmember{}  orbits)
          {}\mRightarrow{}  (0  <  ||orbit||
                \mwedge{}  no\_repeats(T;orbit)
                \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit||.  (orbit[i]  =  (f\^{}i  orbit[0])))
                \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  orbit[0]))))))
8.  \mforall{}a:T.  (\mexists{}orbit\mmember{}orbits.  (a  \mmember{}  orbit))
9.  \mforall{}o1:T  List.  ((o1  \mmember{}  orbits)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}o2:T  List.  ((o2  \mmember{}  orbits)  {}\mRightarrow{}  (o1[0]  \mmember{}  o2)  {}\mRightarrow{}  o1  \msubseteq{}  o2)))
10.  (\mforall{}o1,o2\mmember{}orbits.    o1  \msubseteq{}  o2  \mvee{}  o2  \msubseteq{}  o1  \mvee{}  l\_disjoint(T;o1;o2))
\mvdash{}  (\mforall{}o1\mmember{}orbits.(f  last(o1))  =  o1[0])


By

---

Latex:
((D  0  THEN  Auto)
  THEN  (Assert  0  <  ||orbits[i]||  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  (last(orbits[i])  \mmember{}  orbits[i])  BY
                          Auto)\mcdot{}
  THEN  ((Assert  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (last(orbits[i])  =  (f\^{}n  orbits[i][0]))  BY
                            Auto)
              THEN  ExRepD
              THEN  (Assert  (f  last(orbits[i])  \mmember{}  orbits[i])  BY
                                      (BackThruSomeHyp'
                                        THEN  Auto
                                        THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}n  +  1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                        THEN  Auto
                                        THEN  RWO  "fun\_exp\_add1<"  0
                                        THEN  Auto)))\mcdot{})

---

Home Index