---

Step * 2 1 1 of Lemma orbit-decomp


1. T : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. Inj(T;T;f)
6. orbits : T List List
7. ∀orbit:T List
     ((orbit ∈ orbits)
     ⇒ (0 < ||orbit||
        ∧ no_repeats(T;orbit)
        ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
        ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T)))))
8. ∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))
9. ∀o1:T List. ((o1 ∈ orbits) ⇒ (∀o2:T List. ((o2 ∈ orbits) ⇒ (o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2)))
10. (∀o1,o2∈orbits.  o1 ⊆ o2 ∨ o2 ⊆ o1 ∨ l_disjoint(T;o1;o2))
11. i : ℕ||orbits||
12. 0 < ||orbits[i]||
13. (last(orbits[i]) ∈ orbits[i])
14. n : ℕ
15. last(orbits[i]) = (f^n orbits[i][0]) ∈ T
16. (f last(orbits[i]) ∈ orbits[i])
⊢ (f last(orbits[i])) = orbits[i][0] ∈ T
BY
{ ((RepeatFor 2 (D (-1)) THEN RenameVar `j' (-3))
   THEN (Assert orbits[i][j] = (f^j orbits[i][0]) ∈ T BY
               Auto)
   THEN CaseNat 0 `j')⋅ }

1
1. T : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. Inj(T;T;f)
6. orbits : T List List
7. ∀orbit:T List
     ((orbit ∈ orbits)
     ⇒ (0 < ||orbit||
        ∧ no_repeats(T;orbit)
        ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
        ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T)))))
8. ∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))
9. ∀o1:T List. ((o1 ∈ orbits) ⇒ (∀o2:T List. ((o2 ∈ orbits) ⇒ (o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2)))
10. (∀o1,o2∈orbits.  o1 ⊆ o2 ∨ o2 ⊆ o1 ∨ l_disjoint(T;o1;o2))
11. i : ℕ||orbits||
12. 0 < ||orbits[i]||
13. (last(orbits[i]) ∈ orbits[i])
14. n : ℕ
15. last(orbits[i]) = (f^n orbits[i][0]) ∈ T
16. j : ℕ
17. j < ||orbits[i]||
18. (f last(orbits[i])) = orbits[i][j] ∈ T
19. orbits[i][j] = (f^j orbits[i][0]) ∈ T
20. j = 0 ∈ ℤ
⊢ (f last(orbits[i])) = orbits[i][0] ∈ T

2
1. T : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. Inj(T;T;f)
6. orbits : T List List
7. ∀orbit:T List
     ((orbit ∈ orbits)
     ⇒ (0 < ||orbit||
        ∧ no_repeats(T;orbit)
        ∧ (∀i:ℕ||orbit||. (orbit[i] = (f^i orbit[0]) ∈ T))
        ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbit[0]) ∈ T)))))
8. ∀a:T. (∃orbit∈orbits. (a ∈ orbit))
9. ∀o1:T List. ((o1 ∈ orbits) ⇒ (∀o2:T List. ((o2 ∈ orbits) ⇒ (o1[0] ∈ o2) ⇒ o1 ⊆ o2)))
10. (∀o1,o2∈orbits.  o1 ⊆ o2 ∨ o2 ⊆ o1 ∨ l_disjoint(T;o1;o2))
11. i : ℕ||orbits||
12. 0 < ||orbits[i]||
13. (last(orbits[i]) ∈ orbits[i])
14. n : ℕ
15. last(orbits[i]) = (f^n orbits[i][0]) ∈ T
16. j : ℕ
17. j < ||orbits[i]||
18. (f last(orbits[i])) = orbits[i][j] ∈ T
19. orbits[i][j] = (f^j orbits[i][0]) ∈ T
20. ¬(j = 0 ∈ ℤ)
⊢ (f last(orbits[i])) = orbits[i][0] ∈ T

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  finite-type(T)
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  Inj(T;T;f)
6.  orbits  :  T  List  List
7.  \mforall{}orbit:T  List
          ((orbit  \mmember{}  orbits)
          {}\mRightarrow{}  (0  <  ||orbit||
                \mwedge{}  no\_repeats(T;orbit)
                \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit||.  (orbit[i]  =  (f\^{}i  orbit[0])))
                \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  orbit[0]))))))
8.  \mforall{}a:T.  (\mexists{}orbit\mmember{}orbits.  (a  \mmember{}  orbit))
9.  \mforall{}o1:T  List.  ((o1  \mmember{}  orbits)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}o2:T  List.  ((o2  \mmember{}  orbits)  {}\mRightarrow{}  (o1[0]  \mmember{}  o2)  {}\mRightarrow{}  o1  \msubseteq{}  o2)))
10.  (\mforall{}o1,o2\mmember{}orbits.    o1  \msubseteq{}  o2  \mvee{}  o2  \msubseteq{}  o1  \mvee{}  l\_disjoint(T;o1;o2))
11.  i  :  \mBbbN{}||orbits||
12.  0  <  ||orbits[i]||
13.  (last(orbits[i])  \mmember{}  orbits[i])
14.  n  :  \mBbbN{}
15.  last(orbits[i])  =  (f\^{}n  orbits[i][0])
16.  (f  last(orbits[i])  \mmember{}  orbits[i])
\mvdash{}  (f  last(orbits[i]))  =  orbits[i][0]


By

---

Latex:
((RepeatFor  2  (D  (-1))  THEN  RenameVar  `j'  (-3))
  THEN  (Assert  orbits[i][j]  =  (f\^{}j  orbits[i][0])  BY
                          Auto)
  THEN  CaseNat  0  `j')\mcdot{}

---

Home Index