---

Step * 1 of Lemma orbit-exists


1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. a : T
6. d : ∀a:T. ∀k:ℕ.  Dec(∃i:ℕk. ((f^k a) = (f^i a) ∈ T))
⊢ ∃L:T List. (no_repeats(T;L) ∧ (∀i:ℕ||L||. (L[i] = (f^i a) ∈ T)) ∧ (∀b:T. ((b ∈ L) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
BY
{ Assert ⌜∃k:ℕ. ∃i:ℕk. ((f^k a) = (f^i a) ∈ T)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. a : T
6. d : ∀a:T. ∀k:ℕ.  Dec(∃i:ℕk. ((f^k a) = (f^i a) ∈ T))
⊢ ∃k:ℕ. ∃i:ℕk. ((f^k a) = (f^i a) ∈ T)

2
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. finite-type(T)
4. f : T ⟶ T
5. a : T
6. d : ∀a:T. ∀k:ℕ.  Dec(∃i:ℕk. ((f^k a) = (f^i a) ∈ T))
7. ∃k:ℕ. ∃i:ℕk. ((f^k a) = (f^i a) ∈ T)
⊢ ∃L:T List. (no_repeats(T;L) ∧ (∀i:ℕ||L||. (L[i] = (f^i a) ∈ T)) ∧ (∀b:T. ((b ∈ L) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  finite-type(T)
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  a  :  T
6.  d  :  \mforall{}a:T.  \mforall{}k:\mBbbN{}.    Dec(\mexists{}i:\mBbbN{}k.  ((f\^{}k  a)  =  (f\^{}i  a)))
\mvdash{}  \mexists{}L:T  List
      (no\_repeats(T;L)  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||L||.  (L[i]  =  (f\^{}i  a)))  \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  L)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  a)))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}k:\mBbbN{}.  \mexists{}i:\mBbbN{}k.  ((f\^{}k  a)  =  (f\^{}i  a))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index