---

Step * 2 of Lemma remove-first-no_repeats-member


1. ∀[T:Type]
     ∀P:T ⟶ 𝔹
       ((∀a,b:T.  ((↑(P a)) ⇒ (↑(P b)) ⇒ (a = b ∈ T)))
       ⇒ (∀L:T List. (no_repeats(T;L) ⇒ (∀x:T. ((x ∈ remove-first(P;L)) ⇐⇒ (x ∈ L) ∧ (↑¬b(P x)))))))
⊢ ∀[T:Type]
    ∀L:T List. ∀P:{x:T| (x ∈ L)}  ⟶ 𝔹. ∀x:T.
      (no_repeats(T;L)
      ⇒ (∀a,b:{x:T| (x ∈ L)} .  (((↑(P a)) ∧ (↑(P b))) ⇒ (a = b ∈ T)))
      ⇒ ((x ∈ remove-first(P;L)) ⇐⇒ (x ∈ L) ∧ (↑¬b(P x))))
BY
{ ((UnivCD THENA Auto) THEN (InstHyp [⌜{x:T| (x ∈ L)} ⌝;⌜P⌝;⌜L⌝] 1⋅ THENA Auto)) }

1
1. ∀[T:Type]
     ∀P:T ⟶ 𝔹
       ((∀a,b:T.  ((↑(P a)) ⇒ (↑(P b)) ⇒ (a = b ∈ T)))
       ⇒ (∀L:T List. (no_repeats(T;L) ⇒ (∀x:T. ((x ∈ remove-first(P;L)) ⇐⇒ (x ∈ L) ∧ (↑¬b(P x)))))))
2. [T] : Type
3. L : T List
4. P : {x:T| (x ∈ L)}  ⟶ 𝔹
5. x : T
6. no_repeats(T;L)
7. ∀a,b:{x:T| (x ∈ L)} .  (((↑(P a)) ∧ (↑(P b))) ⇒ (a = b ∈ T))
8. ∀x:{x:T| (x ∈ L)} . ((x ∈ remove-first(P;L)) ⇐⇒ (x ∈ L) ∧ (↑¬b(P x)))
⊢ (x ∈ remove-first(P;L)) ⇐⇒ (x ∈ L) ∧ (↑¬b(P x))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}[T:Type]
          \mforall{}P:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
              ((\mforall{}a,b:T.    ((\muparrow{}(P  a))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  b))  {}\mRightarrow{}  (a  =  b)))
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}L:T  List
                          (no\_repeats(T;L)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:T.  ((x  \mmember{}  remove-first(P;L))  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  L)  \mwedge{}  (\muparrow{}\mneg{}\msubb{}(P  x)))))))
\mvdash{}  \mforall{}[T:Type]
        \mforall{}L:T  List.  \mforall{}P:\{x:T|  (x  \mmember{}  L)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mforall{}x:T.
            (no\_repeats(T;L)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a,b:\{x:T|  (x  \mmember{}  L)\}  .    (((\muparrow{}(P  a))  \mwedge{}  (\muparrow{}(P  b)))  {}\mRightarrow{}  (a  =  b)))
            {}\mRightarrow{}  ((x  \mmember{}  remove-first(P;L))  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  L)  \mwedge{}  (\muparrow{}\mneg{}\msubb{}(P  x))))


By

---

Latex:
((UnivCD  THENA  Auto)  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}\{x:T|  (x  \mmember{}  L)\}  \mkleeneclose{};\mkleeneopen{}P\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}L\mkleeneclose{}]  1\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index