---

Step * 2 of Lemma exists-type-equating-ints


1. x : ℤ
2. y : ℤ
3. n : ℤ
4. m : ℤ
5. ¬(x = y ∈ ℤ)
6. ¬(n = m ∈ ℤ)
7. ¬(x = m ∈ ℤ)
8. ¬(y = n ∈ ℤ)
9. T' : Type
10. ℤ ⊆r T'
11. ∀x@0,y:ℤ.  (((x@0 = x ∈ ℤ) ∨ (x@0 = n ∈ ℤ)) ⇒ ((y = x ∈ ℤ) ∨ (y = n ∈ ℤ)) ⇒ (x@0 = y ∈ T'))
12. ∀x@0,y:ℤ.  ((¬((x@0 = x ∈ ℤ) ∨ (x@0 = n ∈ ℤ))) ⇒ (x@0 = y ∈ ℤ ⇐⇒ x@0 = y ∈ T'))
13. T : Type
14. T' ⊆r T
15. ∀x,y@0:T'.  (((x = y ∈ T') ∨ (x = m ∈ T')) ⇒ ((y@0 = y ∈ T') ∨ (y@0 = m ∈ T')) ⇒ (x = y@0 ∈ T))
16. ∀x,y@0:T'.  ((¬((x = y ∈ T') ∨ (x = m ∈ T'))) ⇒ (x = y@0 ∈ T' ⇐⇒ x = y@0 ∈ T))
17. x = n ∈ T
18. y = m ∈ T
⊢ ¬(x = y ∈ T)
BY
{ ((Assert ¬(x = y ∈ T') BY
          ((D 0 THENA Auto)
           THEN ((InstHyp [⌜y⌝;⌜x⌝] (-8)⋅ THENW Auto) THENM (ThinTrivial THEN D 5 THEN Auto))
           THEN (D 0 THENA Auto)
           THEN D -1
           THEN D 5
           THEN Auto))
   THEN (Assert ¬(x = m ∈ T') BY
               ((D 0 THENA Auto)
                THEN ((InstHyp [⌜m⌝;⌜x⌝] (-9)⋅ THENW Auto) THENM (ThinTrivial THEN D 5 THEN Auto))
                THEN (D 0 THENA Auto)
                THEN D -1
                THEN D 5
                THEN Auto))
   ) }

1
1. x : ℤ
2. y : ℤ
3. n : ℤ
4. m : ℤ
5. ¬(x = y ∈ ℤ)
6. ¬(n = m ∈ ℤ)
7. ¬(x = m ∈ ℤ)
8. ¬(y = n ∈ ℤ)
9. T' : Type
10. ℤ ⊆r T'
11. ∀x@0,y:ℤ.  (((x@0 = x ∈ ℤ) ∨ (x@0 = n ∈ ℤ)) ⇒ ((y = x ∈ ℤ) ∨ (y = n ∈ ℤ)) ⇒ (x@0 = y ∈ T'))
12. ∀x@0,y:ℤ.  ((¬((x@0 = x ∈ ℤ) ∨ (x@0 = n ∈ ℤ))) ⇒ (x@0 = y ∈ ℤ ⇐⇒ x@0 = y ∈ T'))
13. T : Type
14. T' ⊆r T
15. ∀x,y@0:T'.  (((x = y ∈ T') ∨ (x = m ∈ T')) ⇒ ((y@0 = y ∈ T') ∨ (y@0 = m ∈ T')) ⇒ (x = y@0 ∈ T))
16. ∀x,y@0:T'.  ((¬((x = y ∈ T') ∨ (x = m ∈ T'))) ⇒ (x = y@0 ∈ T' ⇐⇒ x = y@0 ∈ T))
17. x = n ∈ T
18. y = m ∈ T
19. ¬(x = y ∈ T')
20. ¬(x = m ∈ T')
⊢ ¬(x = y ∈ T)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbZ{}
2.  y  :  \mBbbZ{}
3.  n  :  \mBbbZ{}
4.  m  :  \mBbbZ{}
5.  \mneg{}(x  =  y)
6.  \mneg{}(n  =  m)
7.  \mneg{}(x  =  m)
8.  \mneg{}(y  =  n)
9.  T'  :  Type
10.  \mBbbZ{}  \msubseteq{}r  T'
11.  \mforall{}x@0,y:\mBbbZ{}.    (((x@0  =  x)  \mvee{}  (x@0  =  n))  {}\mRightarrow{}  ((y  =  x)  \mvee{}  (y  =  n))  {}\mRightarrow{}  (x@0  =  y))
12.  \mforall{}x@0,y:\mBbbZ{}.    ((\mneg{}((x@0  =  x)  \mvee{}  (x@0  =  n)))  {}\mRightarrow{}  (x@0  =  y  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  x@0  =  y))
13.  T  :  Type
14.  T'  \msubseteq{}r  T
15.  \mforall{}x,y@0:T'.    (((x  =  y)  \mvee{}  (x  =  m))  {}\mRightarrow{}  ((y@0  =  y)  \mvee{}  (y@0  =  m))  {}\mRightarrow{}  (x  =  y@0))
16.  \mforall{}x,y@0:T'.    ((\mneg{}((x  =  y)  \mvee{}  (x  =  m)))  {}\mRightarrow{}  (x  =  y@0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  x  =  y@0))
17.  x  =  n
18.  y  =  m
\mvdash{}  \mneg{}(x  =  y)


By

---

Latex:
((Assert  \mneg{}(x  =  y)  BY
                ((D  0  THENA  Auto)
                  THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-8)\mcdot{}  THENW  Auto)  THENM  (ThinTrivial  THEN  D  5  THEN  Auto))
                  THEN  (D  0  THENA  Auto)
                  THEN  D  -1
                  THEN  D  5
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mneg{}(x  =  m)  BY
                          ((D  0  THENA  Auto)
                            THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}m\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-9)\mcdot{}  THENW  Auto)  THENM  (ThinTrivial  THEN  D  5  THEN  Auto))
                            THEN  (D  0  THENA  Auto)
                            THEN  D  -1
                            THEN  D  5
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index