---

Step * 1 2 1 of Lemma permutation-sign-flip-adjacent


1. n : ℕ
2. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. u : ℕn - 1
4. v : ℤ
5. sign((f (u + 1)) - f u) = v ∈ ℤ
6. v1 : ℤ
7. sign((f u) - f (u + 1)) = v1 ∈ ℤ
⊢ Π(if (j =z u) then Π(sign((f (u + 1)) - f i) | i < u + 1) * v
if (j =z u + 1) then Π(sign((f u) - f i) | i < u + 1) * v1
else Π(sign((f j) - f i) | i < j)
fi  | j < n)
= (-Π(Π(sign((f j) - f i) | i < j) | j < n))
∈ ℤ
BY
{ Assert ⌜(v * v1) = (-1) ∈ ℤ⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. u : ℕn - 1
4. v : ℤ
5. sign((f (u + 1)) - f u) = v ∈ ℤ
6. v1 : ℤ
7. sign((f u) - f (u + 1)) = v1 ∈ ℤ
⊢ (v * v1) = (-1) ∈ ℤ

2
1. n : ℕ
2. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
3. u : ℕn - 1
4. v : ℤ
5. sign((f (u + 1)) - f u) = v ∈ ℤ
6. v1 : ℤ
7. sign((f u) - f (u + 1)) = v1 ∈ ℤ
8. (v * v1) = (-1) ∈ ℤ
⊢ Π(if (j =z u) then Π(sign((f (u + 1)) - f i) | i < u + 1) * v
if (j =z u + 1) then Π(sign((f u) - f i) | i < u + 1) * v1
else Π(sign((f j) - f i) | i < j)
fi  | j < n)
= (-Π(Π(sign((f j) - f i) | i < j) | j < n))
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  f  :  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
3.  u  :  \mBbbN{}n  -  1
4.  v  :  \mBbbZ{}
5.  sign((f  (u  +  1))  -  f  u)  =  v
6.  v1  :  \mBbbZ{}
7.  sign((f  u)  -  f  (u  +  1))  =  v1
\mvdash{}  \mPi{}(if  (j  =\msubz{}  u)  then  \mPi{}(sign((f  (u  +  1))  -  f  i)  |  i  <  u  +  1)  *  v
if  (j  =\msubz{}  u  +  1)  then  \mPi{}(sign((f  u)  -  f  i)  |  i  <  u  +  1)  *  v1
else  \mPi{}(sign((f  j)  -  f  i)  |  i  <  j)
fi    |  j  <  n)
=  (-\mPi{}(\mPi{}(sign((f  j)  -  f  i)  |  i  <  j)  |  j  <  n))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(v  *  v1)  =  (-1)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index