---

Step * 1 1 1 of Lemma quot_rem_exists_n


1. a : ℕ@i
2. b : ℕ+@i
3. c : ℕ
4. ∀c:ℕc. ((∃q:ℕ. (a = ((q * b) + c) ∈ ℤ)) ⇒ (∃q:ℕ. ∃r:ℕb. (a = ((q * b) + r) ∈ ℤ)))@i
5. ∃q:ℕ. (a = ((q * b) + c) ∈ ℤ)@i
⊢ ∃q:ℕ. ∃r:ℕb. (a = ((q * b) + r) ∈ ℤ)
BY
{ (% Case split on whether c is good enough yet %  (Decide c < b THENA Auto)) }

1
1. a : ℕ@i
2. b : ℕ+@i
3. c : ℕ
4. ∀c:ℕc. ((∃q:ℕ. (a = ((q * b) + c) ∈ ℤ)) ⇒ (∃q:ℕ. ∃r:ℕb. (a = ((q * b) + r) ∈ ℤ)))@i
5. ∃q:ℕ. (a = ((q * b) + c) ∈ ℤ)@i
6. c < b
⊢ ∃q:ℕ. ∃r:ℕb. (a = ((q * b) + r) ∈ ℤ)

2
1. a : ℕ@i
2. b : ℕ+@i
3. c : ℕ
4. ∀c:ℕc. ((∃q:ℕ. (a = ((q * b) + c) ∈ ℤ)) ⇒ (∃q:ℕ. ∃r:ℕb. (a = ((q * b) + r) ∈ ℤ)))@i
5. ∃q:ℕ. (a = ((q * b) + c) ∈ ℤ)@i
6. ¬c < b
⊢ ∃q:ℕ. ∃r:ℕb. (a = ((q * b) + r) ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}@i
2.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
3.  c  :  \mBbbN{}
4.  \mforall{}c:\mBbbN{}c.  ((\mexists{}q:\mBbbN{}.  (a  =  ((q  *  b)  +  c)))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}q:\mBbbN{}.  \mexists{}r:\mBbbN{}b.  (a  =  ((q  *  b)  +  r))))@i
5.  \mexists{}q:\mBbbN{}.  (a  =  ((q  *  b)  +  c))@i
\mvdash{}  \mexists{}q:\mBbbN{}.  \mexists{}r:\mBbbN{}b.  (a  =  ((q  *  b)  +  r))


By

---

Latex:
(\%  Case  split  on  whether  c  is  good  enough  yet  \%  (Decide  c  <  b  THENA  Auto))

---

Home Index