---

Step * 1 2 2 1 1 of Lemma member-gcd-reduce-constraints


1. n : ℕ+
2. u : ℤ
3. v1 : ℤ List
4. [%2] : ||[u / v1]|| = n ∈ ℤ
5. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
6. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List. ∀cc:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} .
     ((↑isl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v))) ⇒ (cc ∈ sat) ⇒ (cc ∈ outl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v))))
7. ¬↑null(v1)
8. gg : ℤ
9. |gcd-list(v1)| = gg ∈ ℤ
10. 1 < gg
11. (u rem gg) = 0 ∈ ℤ
⊢ ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List. ∀cc:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} .
    ((↑isl(let s' ⟵ eval L' = eval x = u ÷ gg in
                               eval r = eager-map(λx.(x ÷ gg);v1) in
                                 [x / r] in
                     inl [L' / sat]
           in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                    in if t = Ax then if h=0 then inl [L / Ls] else (inr ⋅ )
                                       otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                                 if (1) < (g)
                                                    then if h rem g=0
                                                         then eval L' = eager-map(λx.(x ÷ g);L) in
                                                              inl [L' / Ls]
                                                         else (inr ⋅ )
                                                    else (inl [L / Ls]);s';v)))
    ⇒ (cc ∈ sat)
    ⇒ (cc ∈ outl(let s' ⟵ eval L' = eval x = u ÷ gg in
                                      eval r = eager-map(λx.(x ÷ gg);v1) in
                                        [x / r] in
                            inl [L' / sat]
                  in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                           in if t = Ax then if h=0 then inl [L / Ls] else (inr ⋅ )
                                              otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                                        if (1) < (g)
                                                           then if h rem g=0
                                                                then eval L' = eager-map(λx.(x ÷ g);L) in
                                                                     inl [L' / Ls]
                                                                else (inr ⋅ )
                                                           else (inl [L / Ls]);s';v))))
BY
{ (((CallByValueReduceOn ⌜u ÷ gg⌝ 0⋅ THENA Auto)
    THEN (CallByValueReduceOn ⌜eager-map(λx.(x ÷ gg);v1)⌝ 0⋅ THENA Auto)
    THEN (CallByValueReduceOn ⌜[u ÷ gg / eager-map(λx.(x ÷ gg);v1)]⌝ 0⋅ THENA Auto))
   THEN RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)
   THEN Fold `gcd-reduce-eq-constraints` 0
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ+
2. u : ℤ
3. v1 : ℤ List
4. [%2] : ||[u / v1]|| = n ∈ ℤ
5. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
6. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List. ∀cc:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} .
     ((↑isl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v))) ⇒ (cc ∈ sat) ⇒ (cc ∈ outl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v))))
7. ¬↑null(v1)
8. gg : ℤ
9. |gcd-list(v1)| = gg ∈ ℤ
10. 1 < gg
11. (u rem gg) = 0 ∈ ℤ
12. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
13. cc : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} 
14. ↑isl(gcd-reduce-eq-constraints([[u ÷ gg / eager-map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v))
15. (cc ∈ sat)
⊢ (cc ∈ outl(gcd-reduce-eq-constraints([[u ÷ gg / eager-map(λx.(x ÷ gg);v1)] / sat];v)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  u  :  \mBbbZ{}
3.  v1  :  \mBbbZ{}  List
4.  [\%2]  :  ||[u  /  v1]||  =  n
5.  v  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
6.  \mforall{}sat:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List.  \mforall{}cc:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  .
          ((\muparrow{}isl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v)))
          {}\mRightarrow{}  (cc  \mmember{}  sat)
          {}\mRightarrow{}  (cc  \mmember{}  outl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v))))
7.  \mneg{}\muparrow{}null(v1)
8.  gg  :  \mBbbZ{}
9.  |gcd-list(v1)|  =  gg
10.  1  <  gg
11.  (u  rem  gg)  =  0
\mvdash{}  \mforall{}sat:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List.  \mforall{}cc:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  .
        ((\muparrow{}isl(let  s'  \mleftarrow{}{}  eval  L'  =  eval  x  =  u  \mdiv{}  gg  in
                                                              eval  r  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v1)  in
                                                                  [x  /  r]  in
                                          inl  [L'  /  sat]
                      in  accumulate\_abort(L,Ls.let  h,t  =  L 
                                                                        in  if  t  =  Ax  then  if  h=0  then  inl  [L  /  Ls]  else  (inr  \mcdot{}  )
                                                                              otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                                  if  (1)  <  (g)
                                                                                                        then  if  h  rem  g=0
                                                                                                                  then  eval  L'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);L)  in
                                                                                                                            inl  [L'  /  Ls]
                                                                                                                  else  (inr  \mcdot{}  )
                                                                                                        else  (inl  [L  /  Ls]);s';v)))
        {}\mRightarrow{}  (cc  \mmember{}  sat)
        {}\mRightarrow{}  (cc
                  \mmember{}  outl(let  s'  \mleftarrow{}{}  eval  L'  =  eval  x  =  u  \mdiv{}  gg  in
                                                                        eval  r  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v1)  in
                                                                            [x  /  r]  in
                                                    inl  [L'  /  sat]
                                in  accumulate\_abort(L,Ls.let  h,t  =  L 
                                                                                  in  if  t  =  Ax  then  if  h=0  then  inl  [L  /  Ls]  else  (inr  \mcdot{}  )
                                                                                        otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                                            if  (1)  <  (g)
                                                                                                                  then  if  h  rem  g=0
                                                                                                                            then  eval  L'  =  eager-map(...;L)  in
                                                                                                                                      inl  [L'  /  Ls]
                                                                                                                            else  (inr  \mcdot{}  )
                                                                                                                  else  (inl  [L  /  Ls]);s';v))))


By

---

Latex:
(((CallByValueReduceOn  \mkleeneopen{}u  \mdiv{}  gg\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
    THEN  (CallByValueReduceOn  \mkleeneopen{}eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v1)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
    THEN  (CallByValueReduceOn  \mkleeneopen{}[u  \mdiv{}  gg  /  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v1)]\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto))
  THEN  RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto)
  THEN  Fold  `gcd-reduce-eq-constraints`  0
  THEN  Auto)

---

Home Index