---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma omega_step_measure


1. n : ℕ
2. ineqs : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);[]) ∈ i:ℕ||[]||
   × x:{x:ℤ List| x = [][i] ∈ (ℤ List)} 
   × {i@0:ℕ+||[][i]||| |[][i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?
5. i : ℕ||[]||
6. x : {x:ℤ List| x = [][i] ∈ (ℤ List)} 
7. x2 : {i@0:ℕ+||[][i]||| |[][i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} 
8. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);[])
= (inl <i, x, x2>)
∈ (i:ℕ||[]|| × x:{x:ℤ List| x = [][i] ∈ (ℤ List)}  × {i@0:ℕ+||[][i]||| |[][i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?)
9. xx : {l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
10. exact-reduce-constraints(x;x2;[]) = xx ∈ ({l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List)
11. x3 : {L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
12. gcd-reduce-eq-constraints([];xx) = (inl x3) ∈ ({L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List?)
13. yy : {l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
14. exact-reduce-constraints(x;x2;ineqs) = yy ∈ ({l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List)
15. x4 : {L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
16. gcd-reduce-ineq-constraints([];yy) = (inl x4) ∈ ({L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List?)
⊢ 0 < if ineqs = Ax then 0 otherwise ||hd(ineqs)|| - 1
⇒ (¬if x3 = Ax then if x4 = Ax then 0 otherwise ||hd(x4)|| - 1 otherwise ||hd(x3)|| 
     - 1 < if ineqs = Ax then 0 otherwise ||hd(ineqs)|| - 1)
⇒ (¬((if x3 = Ax then if x4 = Ax then 0 otherwise ||hd(x4)|| - 1 otherwise ||hd(x3)|| - 1
   = if ineqs = Ax then 0 otherwise ||hd(ineqs)|| - 1
   ∈ ℤ)
   ∧ ||x3|| < 0))
⇒ False
BY
{ TACTIC:(DVar `ineqs' THEN Reduce 0) }

1
1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);[]) ∈ i:ℕ||[]||
   × x:{x:ℤ List| x = [][i] ∈ (ℤ List)} 
   × {i@0:ℕ+||[][i]||| |[][i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?
4. i : ℕ||[]||
5. x : {x:ℤ List| x = [][i] ∈ (ℤ List)} 
6. x2 : {i@0:ℕ+||[][i]||| |[][i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} 
7. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);[])
= (inl <i, x, x2>)
∈ (i:ℕ||[]|| × x:{x:ℤ List| x = [][i] ∈ (ℤ List)}  × {i@0:ℕ+||[][i]||| |[][i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?)
8. xx : {l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
9. exact-reduce-constraints(x;x2;[]) = xx ∈ ({l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List)
10. x3 : {L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
11. gcd-reduce-eq-constraints([];xx) = (inl x3) ∈ ({L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List?)
12. yy : {l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
13. exact-reduce-constraints(x;x2;[]) = yy ∈ ({l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List)
14. x4 : {L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
15. gcd-reduce-ineq-constraints([];yy) = (inl x4) ∈ ({L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List?)
⊢ 0 < 0
⇒ (¬if x3 = Ax then if x4 = Ax then 0 otherwise ||hd(x4)|| - 1 otherwise ||hd(x3)|| - 1 < 0)
⇒ (¬((if x3 = Ax then if x4 = Ax then 0 otherwise ||hd(x4)|| - 1 otherwise ||hd(x3)|| - 1 = 0 ∈ ℤ) ∧ ||x3|| < 0))
⇒ False

2
1. n : ℕ
2. u : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ} 
3. v : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);[]) ∈ i:ℕ||[]||
   × x:{x:ℤ List| x = [][i] ∈ (ℤ List)} 
   × {i@0:ℕ+||[][i]||| |[][i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?
6. i : ℕ||[]||
7. x : {x:ℤ List| x = [][i] ∈ (ℤ List)} 
8. x2 : {i@0:ℕ+||[][i]||| |[][i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} 
9. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);[])
= (inl <i, x, x2>)
∈ (i:ℕ||[]|| × x:{x:ℤ List| x = [][i] ∈ (ℤ List)}  × {i@0:ℕ+||[][i]||| |[][i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?)
10. xx : {l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
11. exact-reduce-constraints(x;x2;[]) = xx ∈ ({l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List)
12. x3 : {L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
13. gcd-reduce-eq-constraints([];xx) = (inl x3) ∈ ({L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List?)
14. yy : {l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
15. exact-reduce-constraints(x;x2;[u / v]) = yy ∈ ({l:ℤ List| ||l|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List)
16. x4 : {L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
17. gcd-reduce-ineq-constraints([];yy) = (inl x4) ∈ ({L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List?)
⊢ 0 < ||u|| - 1
⇒ (¬if x3 = Ax then if x4 = Ax then 0 otherwise ||hd(x4)|| - 1 otherwise ||hd(x3)|| - 1 < ||u|| - 1)
⇒ (¬((if x3 = Ax then if x4 = Ax then 0 otherwise ||hd(x4)|| - 1 otherwise ||hd(x3)|| - 1 = (||u|| - 1) ∈ ℤ)
   ∧ ||x3|| < 0))
⇒ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  ineqs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  +  1)\}    List
3.  \mneg{}(n  =  0)
4.  first-success(\mlambda{}L.find-exact-eq-constraint(L);[])  \mmember{}  i:\mBbbN{}||[]||
      \mtimes{}  x:\{x:\mBbbZ{}  List|  x  =  [][i]\} 
      \mtimes{}  \{i@0:\mBbbN{}\msupplus{}||[][i]|||  |[][i][i@0]|  =  1\}  ?
5.  i  :  \mBbbN{}||[]||
6.  x  :  \{x:\mBbbZ{}  List|  x  =  [][i]\} 
7.  x2  :  \{i@0:\mBbbN{}\msupplus{}||[][i]|||  |[][i][i@0]|  =  1\} 
8.  first-success(\mlambda{}L.find-exact-eq-constraint(L);[])  =  (inl  <i,  x,  x2>)
9.  xx  :  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ((n  -  1)  +  1)\}    List
10.  exact-reduce-constraints(x;x2;[])  =  xx
11.  x3  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  ((n  -  1)  +  1)\}    List
12.  gcd-reduce-eq-constraints([];xx)  =  (inl  x3)
13.  yy  :  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ((n  -  1)  +  1)\}    List
14.  exact-reduce-constraints(x;x2;ineqs)  =  yy
15.  x4  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  ((n  -  1)  +  1)\}    List
16.  gcd-reduce-ineq-constraints([];yy)  =  (inl  x4)
\mvdash{}  0  <  if  ineqs  =  Ax  then  0  otherwise  ||hd(ineqs)||  -  1
{}\mRightarrow{}  (\mneg{}if  x3  =  Ax  then  if  x4  =  Ax  then  0  otherwise  ||hd(x4)||  -  1  otherwise  ||hd(x3)|| 
          -  1  <  if  ineqs  =  Ax  then  0  otherwise  ||hd(ineqs)||  -  1)
{}\mRightarrow{}  (\mneg{}((if  x3  =  Ax  then  if  x4  =  Ax  then  0  otherwise  ||hd(x4)||  -  1  otherwise  ||hd(x3)||  -  1
      =  if  ineqs  =  Ax  then  0  otherwise  ||hd(ineqs)||  -  1)
      \mwedge{}  ||x3||  <  0))
{}\mRightarrow{}  False


By

---

Latex:
TACTIC:(DVar  `ineqs'  THEN  Reduce  0)

---

Home Index