---

Step * 1 1 of Lemma satisfiable-exact-reduce-constraints


1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j < ||xs||
14. 0 < ||xs\j||
15. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
⊢ satisfiable(exact-reduce-constraints(eqs[i];j;eqs);exact-reduce-constraints(eqs[i];j;ineqs))
BY
{ TACTIC:((With ⌜xs\j⌝ (D 0)⋅ THENA Auto)
          THEN DupHyp 7
          THEN RepeatFor 3 (ParallelLast)
          THEN (RWW "exact-reduce-constraints-sqequal length-map" 0 THENA Auto)
          THEN ParallelLast
          THEN (RWO "select-map" 0 THENA Auto)
          THEN Reduce 0
          THEN RepeatFor 2 (ParallelLast)) }

1
1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j < ||xs||
14. 0 < ||xs\j||
15. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
16. (∀bs∈ineqs.xs ⋅ bs ≥0)
17. ∀i:ℕ||eqs||. xs ⋅ eqs[i] =0
18. i@0 : ℕ||eqs||
19. 0 < ||xs|| ∧ (hd(xs) = 1 ∈ ℤ) ∧ (eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ)
20. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
⊢ ||xs\j|| = ||-(eqs[i][j] * eqs[i@0][j]) * eqs[i]\j + eqs[i@0]\j|| ∈ ℤ

2
1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j < ||xs||
14. 0 < ||xs\j||
15. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
16. (∀bs∈ineqs.xs ⋅ bs ≥0)
17. ∀i:ℕ||eqs||. xs ⋅ eqs[i] =0
18. i@0 : ℕ||eqs||
19. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
20. 0 < ||xs|| ∧ (hd(xs) = 1 ∈ ℤ) ∧ (eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ)
⊢ 0 < ||xs\j|| ∧ (hd(xs\j) = 1 ∈ ℤ) ∧ (-(eqs[i][j] * eqs[i@0][j]) * eqs[i]\j + eqs[i@0]\j ⋅ xs\j = 0 ∈ ℤ)

3
1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j < ||xs||
14. 0 < ||xs\j||
15. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
16. (∀as∈eqs.xs ⋅ as =0)
17. ∀i:ℕ||ineqs||. xs ⋅ ineqs[i] ≥0
18. i@0 : ℕ||ineqs||
19. 0 < ||xs|| ∧ (hd(xs) = 1 ∈ ℤ) ∧ (ineqs[i@0] ⋅ xs ≥ 0 )
20. ||xs|| = ||ineqs[i@0]|| ∈ ℤ
⊢ ||xs\j|| = ||-(eqs[i][j] * ineqs[i@0][j]) * eqs[i]\j + ineqs[i@0]\j|| ∈ ℤ

4
1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j < ||xs||
14. 0 < ||xs\j||
15. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
16. (∀as∈eqs.xs ⋅ as =0)
17. ∀i:ℕ||ineqs||. xs ⋅ ineqs[i] ≥0
18. i@0 : ℕ||ineqs||
19. ||xs|| = ||ineqs[i@0]|| ∈ ℤ
20. 0 < ||xs|| ∧ (hd(xs) = 1 ∈ ℤ) ∧ (ineqs[i@0] ⋅ xs ≥ 0 )
⊢ 0 < ||xs\j|| ∧ (hd(xs\j) = 1 ∈ ℤ) ∧ (-(eqs[i][j] * ineqs[i@0][j]) * eqs[i]\j + ineqs[i@0]\j ⋅ xs\j ≥ 0 )

---

Latex:

---

Latex:

1.  eqs  :  \mBbbZ{}  List  List
2.  i  :  \mBbbN{}||eqs||
3.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}||eqs[i]||
4.  exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5.  ineqs  :  \mBbbZ{}  List  List
6.  xs  :  \mBbbZ{}  List
7.  satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8.  (\mforall{}e\mmember{}eqs.||e||  =  ||xs||)
9.  (\mforall{}e\mmember{}ineqs.||e||  =  ||xs||)
10.  ||eqs[i]||  \msim{}  ||xs||
11.  eqs  \mmember{}  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ||eqs[i]||\}    List
12.  ineqs  \mmember{}  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ||eqs[i]||\}    List
13.  1  \mleq{}  j  <  ||xs||
14.  0  <  ||xs\mbackslash{}j||
15.  hd(xs\mbackslash{}j)  =  hd(xs)
\mvdash{}  satisfiable(exact-reduce-constraints(eqs[i];j;eqs);exact-reduce-constraints(eqs[i];j;ineqs))


By

---

Latex:
TACTIC:((With  \mkleeneopen{}xs\mbackslash{}j\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  DupHyp  7
                THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast)
                THEN  (RWW  "exact-reduce-constraints-sqequal  length-map"  0  THENA  Auto)
                THEN  ParallelLast
                THEN  (RWO  "select-map"  0  THENA  Auto)
                THEN  Reduce  0
                THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast))

---

Home Index