---

Step * 1 1 1 of Lemma satisfiable-exact-reduce-constraints


1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j < ||xs||
14. 0 < ||xs\j||
15. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
16. (∀bs∈ineqs.xs ⋅ bs ≥0)
17. ∀i:ℕ||eqs||. xs ⋅ eqs[i] =0
18. i@0 : ℕ||eqs||
19. 0 < ||xs|| ∧ (hd(xs) = 1 ∈ ℤ) ∧ (eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ)
20. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
⊢ ||xs\j|| = ||-(eqs[i][j] * eqs[i@0][j]) * eqs[i]\j + eqs[i@0]\j|| ∈ ℤ
BY
{ TACTIC:(RWW "length-int-vec-add" 0 THEN Auto) }

1
1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j
14. j < ||xs||
15. 0 < ||xs\j||
16. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
17. (∀bs∈ineqs.xs ⋅ bs ≥0)
18. ∀i:ℕ||eqs||. xs ⋅ eqs[i] =0
19. i@0 : ℕ||eqs||
20. 0 < ||xs||
21. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
22. eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ
23. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
⊢ ||-(eqs[i][j] * eqs[i@0][j]) * eqs[i]\j|| = ||eqs[i@0]\j|| ∈ ℤ

2
1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j
14. j < ||xs||
15. 0 < ||xs\j||
16. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
17. (∀bs∈ineqs.xs ⋅ bs ≥0)
18. ∀i:ℕ||eqs||. xs ⋅ eqs[i] =0
19. i@0 : ℕ||eqs||
20. 0 < ||xs||
21. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
22. eqs[i@0] ⋅ xs = 0 ∈ ℤ
23. ||xs|| = ||eqs[i@0]|| ∈ ℤ
⊢ ||xs\j|| = ||eqs[i@0]\j|| ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  eqs  :  \mBbbZ{}  List  List
2.  i  :  \mBbbN{}||eqs||
3.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}||eqs[i]||
4.  exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5.  ineqs  :  \mBbbZ{}  List  List
6.  xs  :  \mBbbZ{}  List
7.  satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8.  (\mforall{}e\mmember{}eqs.||e||  =  ||xs||)
9.  (\mforall{}e\mmember{}ineqs.||e||  =  ||xs||)
10.  ||eqs[i]||  \msim{}  ||xs||
11.  eqs  \mmember{}  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ||eqs[i]||\}    List
12.  ineqs  \mmember{}  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ||eqs[i]||\}    List
13.  1  \mleq{}  j  <  ||xs||
14.  0  <  ||xs\mbackslash{}j||
15.  hd(xs\mbackslash{}j)  =  hd(xs)
16.  (\mforall{}bs\mmember{}ineqs.xs  \mcdot{}  bs  \mgeq{}0)
17.  \mforall{}i:\mBbbN{}||eqs||.  xs  \mcdot{}  eqs[i]  =0
18.  i@0  :  \mBbbN{}||eqs||
19.  0  <  ||xs||  \mwedge{}  (hd(xs)  =  1)  \mwedge{}  (eqs[i@0]  \mcdot{}  xs  =  0)
20.  ||xs||  =  ||eqs[i@0]||
\mvdash{}  ||xs\mbackslash{}j||  =  ||-(eqs[i][j]  *  eqs[i@0][j])  *  eqs[i]\mbackslash{}j  +  eqs[i@0]\mbackslash{}j||


By

---

Latex:
TACTIC:(RWW  "length-int-vec-add"  0  THEN  Auto)

---

Home Index