---

Step * 1 1 4 1 of Lemma satisfiable-exact-reduce-constraints


1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j
14. j < ||xs||
15. 0 < ||xs\j||
16. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
17. (∀as∈eqs.xs ⋅ as =0)
18. ∀i:ℕ||ineqs||. xs ⋅ ineqs[i] ≥0
19. i@0 : ℕ||ineqs||
20. ||xs|| = ||ineqs[i@0]|| ∈ ℤ
21. 0 < ||xs||
22. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
23. ineqs[i@0] ⋅ xs ≥ 0 
24. 0 < ||xs\j||
25. hd(xs\j) = 1 ∈ ℤ
⊢ -(eqs[i][j] * ineqs[i@0][j]) * eqs[i]\j + ineqs[i@0]\j ⋅ xs\j ≥ 0 
BY
{ TACTIC:((Assert xs ⋅ ineqs[i@0] ≥0 BY
                 Auto)
          THEN D -1
          THEN ExRepD
          THEN NthHypEq (-1)
          THEN EqCD
          THEN Auto
          THEN Symmetry) }

1
1. eqs : ℤ List List
2. i : ℕ||eqs||
3. j : ℕ+||eqs[i]||
4. exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5. ineqs : ℤ List List
6. xs : ℤ List
7. satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8. (∀e∈eqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
9. (∀e∈ineqs.||e|| = ||xs|| ∈ ℤ)
10. ||eqs[i]|| ~ ||xs||
11. eqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
12. ineqs ∈ {l:ℤ List| ||l|| = ||eqs[i]|| ∈ ℤ}  List
13. 1 ≤ j
14. j < ||xs||
15. 0 < ||xs\j||
16. hd(xs\j) = hd(xs) ∈ ℤ
17. (∀as∈eqs.xs ⋅ as =0)
18. ∀i:ℕ||ineqs||. xs ⋅ ineqs[i] ≥0
19. i@0 : ℕ||ineqs||
20. ||xs|| = ||ineqs[i@0]|| ∈ ℤ
21. 0 < ||xs||
22. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
23. ineqs[i@0] ⋅ xs ≥ 0 
24. 0 < ||xs\j||
25. hd(xs\j) = 1 ∈ ℤ
26. ||xs|| = ||ineqs[i@0]|| ∈ ℤ
27. 0 < ||xs||
28. hd(xs) = 1 ∈ ℤ
29. ineqs[i@0] ⋅ xs ≥ 0 
⊢ ineqs[i@0] ⋅ xs = -(eqs[i][j] * ineqs[i@0][j]) * eqs[i]\j + ineqs[i@0]\j ⋅ xs\j ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  eqs  :  \mBbbZ{}  List  List
2.  i  :  \mBbbN{}||eqs||
3.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}||eqs[i]||
4.  exact-eq-constraint(eqs;i;j)
5.  ineqs  :  \mBbbZ{}  List  List
6.  xs  :  \mBbbZ{}  List
7.  satisfies-integer-problem(eqs;ineqs;xs)
8.  (\mforall{}e\mmember{}eqs.||e||  =  ||xs||)
9.  (\mforall{}e\mmember{}ineqs.||e||  =  ||xs||)
10.  ||eqs[i]||  \msim{}  ||xs||
11.  eqs  \mmember{}  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ||eqs[i]||\}    List
12.  ineqs  \mmember{}  \{l:\mBbbZ{}  List|  ||l||  =  ||eqs[i]||\}    List
13.  1  \mleq{}  j
14.  j  <  ||xs||
15.  0  <  ||xs\mbackslash{}j||
16.  hd(xs\mbackslash{}j)  =  hd(xs)
17.  (\mforall{}as\mmember{}eqs.xs  \mcdot{}  as  =0)
18.  \mforall{}i:\mBbbN{}||ineqs||.  xs  \mcdot{}  ineqs[i]  \mgeq{}0
19.  i@0  :  \mBbbN{}||ineqs||
20.  ||xs||  =  ||ineqs[i@0]||
21.  0  <  ||xs||
22.  hd(xs)  =  1
23.  ineqs[i@0]  \mcdot{}  xs  \mgeq{}  0 
24.  0  <  ||xs\mbackslash{}j||
25.  hd(xs\mbackslash{}j)  =  1
\mvdash{}  -(eqs[i][j]  *  ineqs[i@0][j])  *  eqs[i]\mbackslash{}j  +  ineqs[i@0]\mbackslash{}j  \mcdot{}  xs\mbackslash{}j  \mgeq{}  0 


By

---

Latex:
TACTIC:((Assert  xs  \mcdot{}  ineqs[i@0]  \mgeq{}0  BY
                              Auto)
                THEN  D  -1
                THEN  ExRepD
                THEN  NthHypEq  (-1)
                THEN  EqCD
                THEN  Auto
                THEN  Symmetry)

---

Home Index