---

Step * 1 2 1 2 2 2 1 1 of Lemma satisfies-gcd-reduce-eq-constraints


1. n : ℕ+
2. v : ℤ List
3. ||[1 / v]|| = n ∈ ℤ
4. u : ℤ
5. v2 : ℤ List
6. ||[u / v2]|| = n ∈ ℤ
7. v1 : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
8. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((∀as∈sat.[1 / v] ⋅ as =0)
     ⇒ (∀as∈v1.[1 / v] ⋅ as =0)
     ⇒ ((↑isl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v1))) ∧ (∀as∈outl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v1)).[1 / v] ⋅ as =0)))
9. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
10. (∀as∈sat.[1 / v] ⋅ as =0)
11. (∀as∈[[u / v2] / v1].[1 / v] ⋅ as =0)
12. ¬↑null(v2)
13. gg : ℤ
14. |gcd-list(v2)| = gg ∈ ℤ
15. 1 < gg
16. (u rem gg) = 0 ∈ ℤ
⊢ (↑isl(let s' ⟵ eval L' = eval x = u ÷ gg in
                            eval r = eager-map(λx.(x ÷ gg);v2) in
                              [x / r] in
                  inl [L' / sat]
        in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                 in if t = Ax then if h=0 then inl [L / Ls] else (inr ⋅ )
                                    otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                              if (1) < (g)
                                                 then if h rem g=0
                                                      then eval L' = eager-map(λx.(x ÷ g);L) in
                                                           inl [L' / Ls]
                                                      else (inr ⋅ )
                                                 else (inl [L / Ls]);s';v1)))
∧ (∀as∈outl(let s' ⟵ eval L' = eval x = u ÷ gg in
                                eval r = eager-map(λx.(x ÷ gg);v2) in
                                  [x / r] in
                      inl [L' / sat]
            in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                     in if t = Ax then if h=0 then inl [L / Ls] else (inr ⋅ )
                                        otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                                  if (1) < (g)
                                                     then if h rem g=0
                                                          then eval L' = eager-map(λx.(x ÷ g);L) in
                                                               inl [L' / Ls]
                                                          else (inr ⋅ )
                                                     else (inl [L / Ls]);s';v1)).[1 / v] ⋅ as =0)
BY
{ ((CallByValueReduceOn ⌜u ÷ gg⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (CallByValueReduceOn ⌜eager-map(λx.(x ÷ gg);v2)⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (CallByValueReduceOn ⌜[u ÷ gg / eager-map(λx.(x ÷ gg);v2)]⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)
   THEN Fold `gcd-reduce-eq-constraints` 0
   THEN (RWO "eager-map-is-map" 0 THENA Auto)
   THEN Try (ProveValueType)) }

1
1. n : ℕ+
2. v : ℤ List
3. ||[1 / v]|| = n ∈ ℤ
4. u : ℤ
5. v2 : ℤ List
6. ||[u / v2]|| = n ∈ ℤ
7. v1 : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
8. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((∀as∈sat.[1 / v] ⋅ as =0)
     ⇒ (∀as∈v1.[1 / v] ⋅ as =0)
     ⇒ ((↑isl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v1))) ∧ (∀as∈outl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v1)).[1 / v] ⋅ as =0)))
9. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
10. (∀as∈sat.[1 / v] ⋅ as =0)
11. (∀as∈[[u / v2] / v1].[1 / v] ⋅ as =0)
12. ¬↑null(v2)
13. gg : ℤ
14. |gcd-list(v2)| = gg ∈ ℤ
15. 1 < gg
16. (u rem gg) = 0 ∈ ℤ
⊢ (↑isl(gcd-reduce-eq-constraints([[u ÷ gg / map(λx.(x ÷ gg);v2)] / sat];v1)))
∧ (∀as∈outl(gcd-reduce-eq-constraints([[u ÷ gg / map(λx.(x ÷ gg);v2)] / sat];v1)).[1 / v] ⋅ as =0)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  v  :  \mBbbZ{}  List
3.  ||[1  /  v]||  =  n
4.  u  :  \mBbbZ{}
5.  v2  :  \mBbbZ{}  List
6.  ||[u  /  v2]||  =  n
7.  v1  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
8.  \mforall{}sat:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
          ((\mforall{}as\mmember{}sat.[1  /  v]  \mcdot{}  as  =0)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}v1.[1  /  v]  \mcdot{}  as  =0)
          {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}isl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v1)))
                \mwedge{}  (\mforall{}as\mmember{}outl(gcd-reduce-eq-constraints(sat;v1)).[1  /  v]  \mcdot{}  as  =0)))
9.  sat  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
10.  (\mforall{}as\mmember{}sat.[1  /  v]  \mcdot{}  as  =0)
11.  (\mforall{}as\mmember{}[[u  /  v2]  /  v1].[1  /  v]  \mcdot{}  as  =0)
12.  \mneg{}\muparrow{}null(v2)
13.  gg  :  \mBbbZ{}
14.  |gcd-list(v2)|  =  gg
15.  1  <  gg
16.  (u  rem  gg)  =  0
\mvdash{}  (\muparrow{}isl(let  s'  \mleftarrow{}{}  eval  L'  =  eval  x  =  u  \mdiv{}  gg  in
                                                        eval  r  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v2)  in
                                                            [x  /  r]  in
                                    inl  [L'  /  sat]
                in  accumulate\_abort(L,Ls.let  h,t  =  L 
                                                                  in  if  t  =  Ax  then  if  h=0  then  inl  [L  /  Ls]  else  (inr  \mcdot{}  )
                                                                        otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                            if  (1)  <  (g)
                                                                                                  then  if  h  rem  g=0
                                                                                                            then  eval  L'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);L)  in
                                                                                                                      inl  [L'  /  Ls]
                                                                                                            else  (inr  \mcdot{}  )
                                                                                                  else  (inl  [L  /  Ls]);s';v1)))
\mwedge{}  (\mforall{}as\mmember{}outl(let  s'  \mleftarrow{}{}  eval  L'  =  eval  x  =  u  \mdiv{}  gg  in
                                                                eval  r  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v2)  in
                                                                    [x  /  r]  in
                                            inl  [L'  /  sat]
                        in  accumulate\_abort(L,Ls.let  h,t  =  L 
                                                                          in  if  t  =  Ax  then  if  h=0  then  inl  [L  /  Ls]  else  (inr  \mcdot{}  )
                                                                                otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                                    if  (1)  <  (g)
                                                                                                          then  if  h  rem  g=0
                                                                                                                    then  eval  L'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);L)  in
                                                                                                                              inl  [L'  /  Ls]
                                                                                                                    else  (inr  \mcdot{}  )
                                                                                                          else  (inl  [L  /  Ls]);s';v1)).[1  /  v]  \mcdot{}  as  =0)


By

---

Latex:
((CallByValueReduceOn  \mkleeneopen{}u  \mdiv{}  gg\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (CallByValueReduceOn  \mkleeneopen{}eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v2)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (CallByValueReduceOn  \mkleeneopen{}[u  \mdiv{}  gg  /  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  gg);v2)]\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto)
  THEN  Fold  `gcd-reduce-eq-constraints`  0
  THEN  (RWO  "eager-map-is-map"  0  THENA  Auto)
  THEN  Try  (ProveValueType))

---

Home Index