---

Step * 2 2 1 1 3 1 1 1 1 of Lemma satisfies-shadow-inequalities


1. n : ℕ
2. ineqs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
3. i : ℕ+n
4. xs : ℤ List
5. (∀as∈ineqs.xs ⋅ as ≥0)
6. ∀L:ℤ List. ((L ∈ ineqs) ⇒ i < ||L||)
7. map(λL.L\i;filter(λL.(L[i] =z 0);ineqs)) ∈ ℤ List List
8. valueall-type(ℤ List List)
9. ∀[P:{L:ℤ List| ||L|| = (n - 1) ∈ ℤ}  ⟶ ℙ]
     ∀L1,L2:{L:ℤ List| ||L|| = (n - 1) ∈ ℤ}  List.  ((∀x∈L1 @ L2.P[x]) ⇐⇒ (∀x∈L1.P[x]) ∧ (∀x∈L2.P[x]))
10. filter(λL.0 <z L[i];ineqs) ∈ {x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑0 <z x[i]}  List
11. filter(λL.L[i] <z 0;ineqs) ∈ {x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑x[i] <z 0}  List
12. ∀x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} . i < ||x||
13. ∀Pt:{L:ℤ List| ||L|| = (n - 1) ∈ ℤ}  ⟶ ℙ. ∀f:{x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑0 <z x[i]} 
                                                 ⟶ {x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑x[i] <z 0} 
                                                 ⟶ {L:ℤ List| ||L|| = (n - 1) ∈ ℤ} .
      ((∀a:{x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑0 <z x[i]} . ∀b:{x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑x[i] <z 0} .
          (xs ⋅ a ≥0 ⇒ xs ⋅ b ≥0 ⇒ Pt[f a b]))
      ⇒ (∀as:{x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑0 <z x[i]}  List. ∀bs:{x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑x[i] <z 0}  List.
            ((∀a∈as.xs ⋅ a ≥0) ⇒ (∀b∈bs.xs ⋅ b ≥0) ⇒ (∀t∈eager-product-map(f;as;bs).Pt[t]))))
14. a : {x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑0 <z x[i]} 
15. b : {x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑x[i] <z 0} 
16. xs ⋅ a ≥0
17. xs ⋅ b ≥0
⊢ xs\i ⋅ shadow-vec(i;a;b) ≥0
BY
{ TACTIC:(RepeatFor 2 (DVar `a') THEN RepeatFor 2 (DVar `b')) }

1
1. n : ℕ
2. ineqs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
3. i : ℕ+n
4. xs : ℤ List
5. (∀as∈ineqs.xs ⋅ as ≥0)
6. ∀L:ℤ List. ((L ∈ ineqs) ⇒ i < ||L||)
7. map(λL.L\i;filter(λL.(L[i] =z 0);ineqs)) ∈ ℤ List List
8. valueall-type(ℤ List List)
9. ∀[P:{L:ℤ List| ||L|| = (n - 1) ∈ ℤ}  ⟶ ℙ]
     ∀L1,L2:{L:ℤ List| ||L|| = (n - 1) ∈ ℤ}  List.  ((∀x∈L1 @ L2.P[x]) ⇐⇒ (∀x∈L1.P[x]) ∧ (∀x∈L2.P[x]))
10. filter(λL.0 <z L[i];ineqs) ∈ {x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑0 <z x[i]}  List
11. filter(λL.L[i] <z 0;ineqs) ∈ {x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑x[i] <z 0}  List
12. ∀x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} . i < ||x||
13. ∀Pt:{L:ℤ List| ||L|| = (n - 1) ∈ ℤ}  ⟶ ℙ. ∀f:{x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑0 <z x[i]} 
                                                 ⟶ {x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑x[i] <z 0} 
                                                 ⟶ {L:ℤ List| ||L|| = (n - 1) ∈ ℤ} .
      ((∀a:{x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑0 <z x[i]} . ∀b:{x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑x[i] <z 0} .
          (xs ⋅ a ≥0 ⇒ xs ⋅ b ≥0 ⇒ Pt[f a b]))
      ⇒ (∀as:{x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑0 <z x[i]}  List. ∀bs:{x:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} | ↑x[i] <z 0}  List.
            ((∀a∈as.xs ⋅ a ≥0) ⇒ (∀b∈bs.xs ⋅ b ≥0) ⇒ (∀t∈eager-product-map(f;as;bs).Pt[t]))))
14. a : ℤ List
15. [%27] : ||a|| = n ∈ ℤ
16. [%25] : ↑0 <z a[i]
17. b : ℤ List
18. [%31] : ||b|| = n ∈ ℤ
19. [%29] : ↑b[i] <z 0
20. xs ⋅ a ≥0
21. xs ⋅ b ≥0
⊢ xs\i ⋅ shadow-vec(i;a;b) ≥0

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  ineqs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
3.  i  :  \mBbbN{}\msupplus{}n
4.  xs  :  \mBbbZ{}  List
5.  (\mforall{}as\mmember{}ineqs.xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
6.  \mforall{}L:\mBbbZ{}  List.  ((L  \mmember{}  ineqs)  {}\mRightarrow{}  i  <  ||L||)
7.  map(\mlambda{}L.L\mbackslash{}i;filter(\mlambda{}L.(L[i]  =\msubz{}  0);ineqs))  \mmember{}  \mBbbZ{}  List  List
8.  valueall-type(\mBbbZ{}  List  List)
9.  \mforall{}[P:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  -  1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
          \mforall{}L1,L2:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  -  1)\}    List.    ((\mforall{}x\mmember{}L1  @  L2.P[x])  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mforall{}x\mmember{}L1.P[x])  \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}L2.P[x]))
10.  filter(\mlambda{}L.0  <z  L[i];ineqs)  \mmember{}  \{x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  |  \muparrow{}0  <z  x[i]\}    List
11.  filter(\mlambda{}L.L[i]  <z  0;ineqs)  \mmember{}  \{x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  |  \muparrow{}x[i]  <z  0\}    List
12.  \mforall{}x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  .  i  <  ||x||
13.  \mforall{}Pt:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  -  1)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}f:\{x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  |  \muparrow{}0  <z  x[i]\} 
                                                                                          {}\mrightarrow{}  \{x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  |  \muparrow{}x[i]  <z  0\} 
                                                                                          {}\mrightarrow{}  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  -  1)\}  .
            ((\mforall{}a:\{x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  |  \muparrow{}0  <z  x[i]\}  .  \mforall{}b:\{x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  |  \muparrow{}x[i]  <z  0\}  .
                    (xs  \mcdot{}  a  \mgeq{}0  {}\mRightarrow{}  xs  \mcdot{}  b  \mgeq{}0  {}\mRightarrow{}  Pt[f  a  b]))
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}as:\{x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  |  \muparrow{}0  <z  x[i]\}    List.
                    \mforall{}bs:\{x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  |  \muparrow{}x[i]  <z  0\}    List.
                        ((\mforall{}a\mmember{}as.xs  \mcdot{}  a  \mgeq{}0)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}b\mmember{}bs.xs  \mcdot{}  b  \mgeq{}0)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}t\mmember{}eager-product-map(f;as;bs).Pt[t]))))
14.  a  :  \{x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  |  \muparrow{}0  <z  x[i]\} 
15.  b  :  \{x:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}  |  \muparrow{}x[i]  <z  0\} 
16.  xs  \mcdot{}  a  \mgeq{}0
17.  xs  \mcdot{}  b  \mgeq{}0
\mvdash{}  xs\mbackslash{}i  \mcdot{}  shadow-vec(i;a;b)  \mgeq{}0


By

---

Latex:
TACTIC:(RepeatFor  2  (DVar  `a')  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `b'))

---

Home Index