---

Step * 1 2 of Lemma diamond-implies-TC-confluent


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. rel-diamond-property(T;x,y.R[x;y])
4. m : T ⟶ ℕ
5. ∀x,y:T.  (R[x;y] ⇒ m y < m x)
6. d : ℤ
7. [%4] : 0 < d
8. ∀x:T
     (m x < d - 1 ⇒ (∀y,z:T.  ((λx,y. R[x;y]^* x y) ⇒ (λx,y. R[x;y]^* x z) ⇒ (∃w:T. ((λx,y. R[x;y]^* y w) ∧ (λx,y. R[\000Cx;y]^* z w))))))
9. x : T
10. m x < d
11. y : T
12. z : T
13. λx,y. R[x;y]^* x y
14. λx,y. R[x;y]^* x z
⊢ ∃w:T. ((λx,y. R[x;y]^* y w) ∧ (λx,y. R[x;y]^* z w))
BY
{ ((FLemma `transitive-reflexive-closure-cases` [-2] THENA Auto) THEN D -1) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. rel-diamond-property(T;x,y.R[x;y])
4. m : T ⟶ ℕ
5. ∀x,y:T.  (R[x;y] ⇒ m y < m x)
6. d : ℤ
7. [%4] : 0 < d
8. ∀x:T
     (m x < d - 1 ⇒ (∀y,z:T.  ((λx,y. R[x;y]^* x y) ⇒ (λx,y. R[x;y]^* x z) ⇒ (∃w:T. ((λx,y. R[x;y]^* y w) ∧ (λx,y. R[\000Cx;y]^* z w))))))
9. x : T
10. m x < d
11. y : T
12. z : T
13. λx,y. R[x;y]^* x y
14. λx,y. R[x;y]^* x z
15. x = y ∈ T
⊢ ∃w:T. ((λx,y. R[x;y]^* y w) ∧ (λx,y. R[x;y]^* z w))

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. rel-diamond-property(T;x,y.R[x;y])
4. m : T ⟶ ℕ
5. ∀x,y:T.  (R[x;y] ⇒ m y < m x)
6. d : ℤ
7. [%4] : 0 < d
8. ∀x:T
     (m x < d - 1 ⇒ (∀y,z:T.  ((λx,y. R[x;y]^* x y) ⇒ (λx,y. R[x;y]^* x z) ⇒ (∃w:T. ((λx,y. R[x;y]^* y w) ∧ (λx,y. R[\000Cx;y]^* z w))))))
9. x : T
10. m x < d
11. y : T
12. z : T
13. λx,y. R[x;y]^* x y
14. λx,y. R[x;y]^* x z
15. ∃z:T. ((x (λx,y. R[x;y]) z) ∧ (z λx,y. R[x;y]^* y))
⊢ ∃w:T. ((λx,y. R[x;y]^* y w) ∧ (λx,y. R[x;y]^* z w))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  rel-diamond-property(T;x,y.R[x;y])
4.  m  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
5.  \mforall{}x,y:T.    (R[x;y]  {}\mRightarrow{}  m  y  <  m  x)
6.  d  :  \mBbbZ{}
7.  [\%4]  :  0  <  d
8.  \mforall{}x:T
          (m  x  <  d  -  1
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}y,z:T.
                      ((\mlambda{}x,y.  R[x;y]\^{}*  x  y)  {}\mRightarrow{}  (\mlambda{}x,y.  R[x;y]\^{}*  x  z)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w:T.  ((\mlambda{}x,y.  R[x;y]\^{}*  y  w)  \mwedge{}  (\mlambda{}x,y.  R[\000Cx;y]\^{}*  z  w))))))
9.  x  :  T
10.  m  x  <  d
11.  y  :  T
12.  z  :  T
13.  \mlambda{}x,y.  R[x;y]\^{}*  x  y
14.  \mlambda{}x,y.  R[x;y]\^{}*  x  z
\mvdash{}  \mexists{}w:T.  ((\mlambda{}x,y.  R[x;y]\^{}*  y  w)  \mwedge{}  (\mlambda{}x,y.  R[x;y]\^{}*  z  w))


By

---

Latex:
((FLemma  `transitive-reflexive-closure-cases`  [-2]  THENA  Auto)  THEN  D  -1)

---

Home Index