---

Step * 2 of Lemma rel_exp-iff-path


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
⊢ ∀x,y:T.
    (x if (n =z 0) then λx,y. (x = y ∈ T) else λx,y. ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y)) fi  y
    ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = (n + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
BY
{ (SplitOnConclITE THENA Auto) }

1
.....truecase..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6. n = 0 ∈ ℤ
⊢ ∀x@0,y:T.  (x@0 (λx,y. (x = y ∈ T)) y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = (n + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x@0;y;L)))

2
.....falsecase..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ ∀x,y@0:T.
    (x (λx,y. ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y))) y@0 ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = (n + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y@0;L)\000C))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  n  :  \mBbbZ{}
4.  [\%1]  :  0  <  n
5.  \mforall{}x,y:T.
          (x  R\^{}n  -  1  y  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}L:T  List.  ((||L||  =  ((n  -  1)  +  1))  \mwedge{}  rel-path-between(T;R;x;y;L)))
\mvdash{}  \mforall{}x,y:T.
        (x  if  (n  =\msubz{}  0)  then  \mlambda{}x,y.  (x  =  y)  else  \mlambda{}x,y.  \mexists{}z:T.  ((x  R  z)  \mwedge{}  (z  rel\_exp(T;  R;  n  -  1)  y))  fi    y
        \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}L:T  List.  ((||L||  =  (n  +  1))  \mwedge{}  rel-path-between(T;R;x;y;L)))


By

---

Latex:
(SplitOnConclITE  THENA  Auto)

---

Home Index