---

Step * 2 2 of Lemma rel_exp-iff-path

.....falsecase..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ ∀x,y@0:T.
    (x (λx,y. ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y))) y@0 ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = (n + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y@0;L)\000C))
BY
{ (Reduce 0 THEN Auto) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
7. x : T
8. y@0 : T
9. ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y@0))
⊢ ∃L:T List. ((||L|| = (n + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y@0;L))

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
7. x : T
8. y@0 : T
9. ∃L:T List. ((||L|| = (n + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y@0;L))
⊢ ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y@0))

---

Latex:

---

Latex:
.....falsecase..... 
1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  n  :  \mBbbZ{}
4.  [\%1]  :  0  <  n
5.  \mforall{}x,y:T.
          (x  R\^{}n  -  1  y  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}L:T  List.  ((||L||  =  ((n  -  1)  +  1))  \mwedge{}  rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6.  \mneg{}(n  =  0)
\mvdash{}  \mforall{}x,y@0:T.
        (x  (\mlambda{}x,y.  \mexists{}z:T.  ((x  R  z)  \mwedge{}  (z  rel\_exp(T;  R;  n  -  1)  y)))  y@0
        \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}L:T  List.  ((||L||  =  (n  +  1))  \mwedge{}  rel-path-between(T;R;x;y@0;L)))


By

---

Latex:
(Reduce  0  THEN  Auto)

---

Home Index