---

Step * 2 2 2 of Lemma rel_exp-iff-path


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
7. x : T
8. y@0 : T
9. ∃L:T List. ((||L|| = (n + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y@0;L))
⊢ ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y@0))
BY
{ (ExRepD THEN DVar `L' THEN All Reduce) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
7. x : T
8. y@0 : T
9. 0 = (n + 1) ∈ ℤ
10. rel-path-between(T;R;x;y@0;[])
⊢ ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y@0))

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. n : ℤ
4. [%1] : 0 < n
5. ∀x,y:T.  (x R^n - 1 y ⇐⇒ ∃L:T List. ((||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ) ∧ rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
7. x : T
8. y@0 : T
9. u : T
10. v : T List
11. (||v|| + 1) = (n + 1) ∈ ℤ
12. rel-path-between(T;R;x;y@0;[u / v])
⊢ ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y@0))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  n  :  \mBbbZ{}
4.  [\%1]  :  0  <  n
5.  \mforall{}x,y:T.
          (x  R\^{}n  -  1  y  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}L:T  List.  ((||L||  =  ((n  -  1)  +  1))  \mwedge{}  rel-path-between(T;R;x;y;L)))
6.  \mneg{}(n  =  0)
7.  x  :  T
8.  y@0  :  T
9.  \mexists{}L:T  List.  ((||L||  =  (n  +  1))  \mwedge{}  rel-path-between(T;R;x;y@0;L))
\mvdash{}  \mexists{}z:T.  ((x  R  z)  \mwedge{}  (z  rel\_exp(T;  R;  n  -  1)  y@0))


By

---

Latex:
(ExRepD  THEN  DVar  `L'  THEN  All  Reduce)

---

Home Index