---

Step * 1 1 2 1 of Lemma sub-spread-transitive

.....falsecase..... 
1. Pos : Type
2. Mv : Pos ⟶ Type
3. a : Spread(Pos;a.Mv[a])
4. b : Spread(Pos;a.Mv[a])
5. n1 : ℕ
6. p1 : ℕn1 ⟶ MoveChoice(Pos;a.Mv[a])
7. subgame(b;p1;n1) = (inl a) ∈ (Spread(Pos;a.Mv[a])?)
8. n : ℤ
9. 0 < n
10. ∀c:Spread(Pos;a.Mv[a]). ∀p:ℕn - 1 ⟶ MoveChoice(Pos;a.Mv[a]).
      ((subgame(c;p;n - 1) = (inl b) ∈ (Spread(Pos;a.Mv[a])?))
      ⇒ (subgame(c;λi.if (i) < (n - 1)  then p i  else (p1 (i - n - 1));n1 + (n - 1))
         = (inl a)
         ∈ (Spread(Pos;a.Mv[a])?)))
11. c : Spread(Pos;a.Mv[a])
12. p : ℕn ⟶ MoveChoice(Pos;a.Mv[a])
13. let a,f = c 
    in case p 0 a of inl(m) => subgame(f m;λi.(p (i + 1));n - 1) | inr(z) => inr z 
= (inl b)
∈ (Spread(Pos;a.Mv[a])?)
14. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ subgame(c;λi.if (i) < (n)  then p i  else (p1 (i - n));n1 + n) = (inl a) ∈ (Spread(Pos;a.Mv[a])?)
BY
{ (RecUnfold `subgame` 0 THEN AutoSplit)⋅ }

1
1. Pos : Type
2. Mv : Pos ⟶ Type
3. a : Spread(Pos;a.Mv[a])
4. b : Spread(Pos;a.Mv[a])
5. n1 : ℕ
6. p1 : ℕn1 ⟶ MoveChoice(Pos;a.Mv[a])
7. subgame(b;p1;n1) = (inl a) ∈ (Spread(Pos;a.Mv[a])?)
8. n : ℤ
9. n1 + n ≠ 0
10. 0 < n
11. ∀c:Spread(Pos;a.Mv[a]). ∀p:ℕn - 1 ⟶ MoveChoice(Pos;a.Mv[a]).
      ((subgame(c;p;n - 1) = (inl b) ∈ (Spread(Pos;a.Mv[a])?))
      ⇒ (subgame(c;λi.if (i) < (n - 1)  then p i  else (p1 (i - n - 1));n1 + (n - 1))
         = (inl a)
         ∈ (Spread(Pos;a.Mv[a])?)))
12. c : Spread(Pos;a.Mv[a])
13. p : ℕn ⟶ MoveChoice(Pos;a.Mv[a])
14. let a,f = c 
    in case p 0 a of inl(m) => subgame(f m;λi.(p (i + 1));n - 1) | inr(z) => inr z 
= (inl b)
∈ (Spread(Pos;a.Mv[a])?)
15. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ let a,f = c 
  in case p 0 a
      of inl(m) =>
      subgame(f m;λi.if (i + 1) < (n)  then p (i + 1)  else (p1 ((i + 1) - n));(n1 + n) - 1)
      | inr(z) =>
      inr z 
= (inl a)
∈ (Spread(Pos;a.Mv[a])?)

---

Latex:

---

Latex:
.....falsecase..... 
1.  Pos  :  Type
2.  Mv  :  Pos  {}\mrightarrow{}  Type
3.  a  :  Spread(Pos;a.Mv[a])
4.  b  :  Spread(Pos;a.Mv[a])
5.  n1  :  \mBbbN{}
6.  p1  :  \mBbbN{}n1  {}\mrightarrow{}  MoveChoice(Pos;a.Mv[a])
7.  subgame(b;p1;n1)  =  (inl  a)
8.  n  :  \mBbbZ{}
9.  0  <  n
10.  \mforall{}c:Spread(Pos;a.Mv[a]).  \mforall{}p:\mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  MoveChoice(Pos;a.Mv[a]).
            ((subgame(c;p;n  -  1)  =  (inl  b))
            {}\mRightarrow{}  (subgame(c;\mlambda{}i.if  (i)  <  (n  -  1)    then  p  i    else  (p1  (i  -  n  -  1));n1  +  (n  -  1))  =  (inl  a)))
11.  c  :  Spread(Pos;a.Mv[a])
12.  p  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  MoveChoice(Pos;a.Mv[a])
13.  let  a,f  =  c 
        in  case  p  0  a  of  inl(m)  =>  subgame(f  m;\mlambda{}i.(p  (i  +  1));n  -  1)  |  inr(z)  =>  inr  z 
=  (inl  b)
14.  \mneg{}(n  =  0)
\mvdash{}  subgame(c;\mlambda{}i.if  (i)  <  (n)    then  p  i    else  (p1  (i  -  n));n1  +  n)  =  (inl  a)


By

---

Latex:
(RecUnfold  `subgame`  0  THEN  AutoSplit)\mcdot{}

---

Home Index