---

Step * 1 2 1 2 1 1 of Lemma prec-sub-size


1. P : Type
2. a : Atom ⟶ P ⟶ ((P + P + Type) List)
3. j : P
4. x : prec(lbl,p.a[lbl;p];j)
5. i : P
6. labl : {lbl:Atom| 0 < ||a[lbl;i]||} 
7. y1 : tuple-type(map(λx.case x
                           of inl(y) =>
                           case y of inl(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) | inr(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) List
                           | inr(E) =>
                           E;a[labl;i]))
8. k : ℕ||a[labl;i]||
9. (x ∈ y1.k)
10. y : P
11. a[labl;i][k] = (inl (inr y )) ∈ (P + P + Type)
12. True
13. y = j ∈ P
14. y1.k ∈ case a[labl;i][k]
     of inl(y) =>
     case y of inl(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) | inr(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) List
     | inr(E) =>
     E
15. y1.k ∈ prec(lbl,p.a[lbl;p];y) List
⊢ ||j;x|| ≤ l_sum(map(λz.||y;z||;y1.k))
BY
{ Assert ⌜||y;x|| ≤ l_sum(map(λz.||y;z||;y1.k))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. P : Type
2. a : Atom ⟶ P ⟶ ((P + P + Type) List)
3. j : P
4. x : prec(lbl,p.a[lbl;p];j)
5. i : P
6. labl : {lbl:Atom| 0 < ||a[lbl;i]||} 
7. y1 : tuple-type(map(λx.case x
                           of inl(y) =>
                           case y of inl(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) | inr(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) List
                           | inr(E) =>
                           E;a[labl;i]))
8. k : ℕ||a[labl;i]||
9. (x ∈ y1.k)
10. y : P
11. a[labl;i][k] = (inl (inr y )) ∈ (P + P + Type)
12. True
13. y = j ∈ P
14. y1.k ∈ case a[labl;i][k]
     of inl(y) =>
     case y of inl(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) | inr(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) List
     | inr(E) =>
     E
15. y1.k ∈ prec(lbl,p.a[lbl;p];y) List
⊢ ||y;x|| ≤ l_sum(map(λz.||y;z||;y1.k))

2
1. P : Type
2. a : Atom ⟶ P ⟶ ((P + P + Type) List)
3. j : P
4. x : prec(lbl,p.a[lbl;p];j)
5. i : P
6. labl : {lbl:Atom| 0 < ||a[lbl;i]||} 
7. y1 : tuple-type(map(λx.case x
                           of inl(y) =>
                           case y of inl(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) | inr(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) List
                           | inr(E) =>
                           E;a[labl;i]))
8. k : ℕ||a[labl;i]||
9. (x ∈ y1.k)
10. y : P
11. a[labl;i][k] = (inl (inr y )) ∈ (P + P + Type)
12. True
13. y = j ∈ P
14. y1.k ∈ case a[labl;i][k]
     of inl(y) =>
     case y of inl(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) | inr(p) => prec(lbl,p.a[lbl;p];p) List
     | inr(E) =>
     E
15. y1.k ∈ prec(lbl,p.a[lbl;p];y) List
16. ||y;x|| ≤ l_sum(map(λz.||y;z||;y1.k))
⊢ ||j;x|| ≤ l_sum(map(λz.||y;z||;y1.k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  Type
2.  a  :  Atom  {}\mrightarrow{}  P  {}\mrightarrow{}  ((P  +  P  +  Type)  List)
3.  j  :  P
4.  x  :  prec(lbl,p.a[lbl;p];j)
5.  i  :  P
6.  labl  :  \{lbl:Atom|  0  <  ||a[lbl;i]||\} 
7.  y1  :  tuple-type(map(\mlambda{}x.case  x
                                                      of  inl(y)  =>
                                                      case  y
                                                        of  inl(p)  =>
                                                        prec(lbl,p.a[lbl;p];p)
                                                        |  inr(p)  =>
                                                        prec(lbl,p.a[lbl;p];p)  List
                                                      |  inr(E)  =>
                                                      E;a[labl;i]))
8.  k  :  \mBbbN{}||a[labl;i]||
9.  (x  \mmember{}  y1.k)
10.  y  :  P
11.  a[labl;i][k]  =  (inl  (inr  y  ))
12.  True
13.  y  =  j
14.  y1.k  \mmember{}  case  a[labl;i][k]
          of  inl(y)  =>
          case  y  of  inl(p)  =>  prec(lbl,p.a[lbl;p];p)  |  inr(p)  =>  prec(lbl,p.a[lbl;p];p)  List
          |  inr(E)  =>
          E
15.  y1.k  \mmember{}  prec(lbl,p.a[lbl;p];y)  List
\mvdash{}  ||j;x||  \mleq{}  l\_sum(map(\mlambda{}z.||y;z||;y1.k))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}||y;x||  \mleq{}  l\_sum(map(\mlambda{}z.||y;z||;y1.k))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index