---

Step * of Lemma PZF-induction

No Annotations
∀C:Type
  ∀[F:PZF-Formula(C) ⟶ ℙ]. ∀[T:PZF-Term(C) ⟶ ℙ].
    ((∀name:Atom. T[Vname])
    ⇒ (∀value:C. T[Const(value)])
    ⇒ (∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}]))
    ⇒ (∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b]))
    ⇒ (∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b]))
    ⇒ (∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)]))
    ⇒ (∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b]))
    ⇒ (∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)]))
    ⇒ (∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a]))
    ⇒ (∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a]))
    ⇒ ((∀phi:PZF-Formula(C). F[phi]) ∧ (∀t:PZF-Term(C). T[t])))
BY
{ (RepeatFor 13 (Intro)
   THEN (InstLemma `Form-induction` [⌜C⌝;⌜λ2f.(↑wfForm(f)) ⇒ (↑SafeForm(f)) ⇒ if termForm(f) then T[f] else F[f] fi ⌝]
         ⋅
         THENW Auto
         )
   THEN RepUR ``wfForm wfFormAux termForm SafeForm`` 0
   THEN Try (Folds ``SafeForm termForm wfFormAux`` 0⋅)
   THEN Try (Fold `wfForm` 0)
   THEN Auto) }

1
1. C : Type
2. [F] : PZF-Formula(C) ⟶ ℙ
3. [T] : PZF-Term(C) ⟶ ℙ
4. ∀name:Atom. T[Vname]
5. ∀value:C. T[Const(value)]
6. ∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}])
7. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b])
8. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b])
9. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)])
10. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b])
11. ∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)])
12. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a])
13. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a])
14. var : Atom
15. phi : Form(C)
16. (↑wfForm(phi)) ⇒ (↑SafeForm(phi)) ⇒ if termForm(phi) then T[phi] else F[phi] fi 
17. ↑(wfFormAux(phi) ff)
18. ↑(SafeForm(phi) ∧b PZF_safe(phi;[var]))
⊢ T[{var | phi}]

2
1. C : Type
2. [F] : PZF-Formula(C) ⟶ ℙ
3. [T] : PZF-Term(C) ⟶ ℙ
4. ∀name:Atom. T[Vname]
5. ∀value:C. T[Const(value)]
6. ∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}])
7. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b])
8. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b])
9. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)])
10. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b])
11. ∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)])
12. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a])
13. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a])
14. left : Form(C)
15. right : Form(C)
16. (↑wfForm(left)) ⇒ (↑SafeForm(left)) ⇒ if termForm(left) then T[left] else F[left] fi 
17. (↑wfForm(right)) ⇒ (↑SafeForm(right)) ⇒ if termForm(right) then T[right] else F[right] fi 
18. ↑((wfFormAux(left) tt) ∧b (wfFormAux(right) tt))
19. ↑(SafeForm(left) ∧b SafeForm(right))
⊢ F[left = right]

3
1. C : Type
2. [F] : PZF-Formula(C) ⟶ ℙ
3. [T] : PZF-Term(C) ⟶ ℙ
4. ∀name:Atom. T[Vname]
5. ∀value:C. T[Const(value)]
6. ∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}])
7. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b])
8. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b])
9. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)])
10. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b])
11. ∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)])
12. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a])
13. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a])
14. element : Form(C)
15. set : Form(C)
16. (↑wfForm(element)) ⇒ (↑SafeForm(element)) ⇒ if termForm(element) then T[element] else F[element] fi 
17. (↑wfForm(set)) ⇒ (↑SafeForm(set)) ⇒ if termForm(set) then T[set] else F[set] fi 
18. ↑((wfFormAux(element) tt) ∧b (wfFormAux(set) tt))
19. ↑(SafeForm(element) ∧b SafeForm(set))
⊢ F[element ∈ set]

4
1. C : Type
2. [F] : PZF-Formula(C) ⟶ ℙ
3. [T] : PZF-Term(C) ⟶ ℙ
4. ∀name:Atom. T[Vname]
5. ∀value:C. T[Const(value)]
6. ∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}])
7. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b])
8. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b])
9. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)])
10. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b])
11. ∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)])
12. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a])
13. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a])
14. left : Form(C)
15. right : Form(C)
16. (↑wfForm(left)) ⇒ (↑SafeForm(left)) ⇒ if termForm(left) then T[left] else F[left] fi 
17. (↑wfForm(right)) ⇒ (↑SafeForm(right)) ⇒ if termForm(right) then T[right] else F[right] fi 
18. ↑((wfFormAux(left) ff) ∧b (wfFormAux(right) ff))
19. ↑(SafeForm(left) ∧b SafeForm(right))
⊢ F[left ∧ right)]

5
1. C : Type
2. [F] : PZF-Formula(C) ⟶ ℙ
3. [T] : PZF-Term(C) ⟶ ℙ
4. ∀name:Atom. T[Vname]
5. ∀value:C. T[Const(value)]
6. ∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}])
7. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b])
8. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b])
9. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)])
10. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b])
11. ∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)])
12. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a])
13. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a])
14. left : Form(C)
15. right : Form(C)
16. (↑wfForm(left)) ⇒ (↑SafeForm(left)) ⇒ if termForm(left) then T[left] else F[left] fi 
17. (↑wfForm(right)) ⇒ (↑SafeForm(right)) ⇒ if termForm(right) then T[right] else F[right] fi 
18. ↑((wfFormAux(left) ff) ∧b (wfFormAux(right) ff))
19. ↑(SafeForm(left) ∧b SafeForm(right))
⊢ F[left ∨ right]

6
1. C : Type
2. [F] : PZF-Formula(C) ⟶ ℙ
3. [T] : PZF-Term(C) ⟶ ℙ
4. ∀name:Atom. T[Vname]
5. ∀value:C. T[Const(value)]
6. ∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}])
7. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b])
8. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b])
9. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)])
10. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b])
11. ∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)])
12. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a])
13. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a])
14. body : Form(C)
15. (↑wfForm(body)) ⇒ (↑SafeForm(body)) ⇒ if termForm(body) then T[body] else F[body] fi 
16. ↑(wfFormAux(body) ff)
17. ↑SafeForm(body)
⊢ F[¬(body)]

7
1. C : Type
2. [F] : PZF-Formula(C) ⟶ ℙ
3. [T] : PZF-Term(C) ⟶ ℙ
4. ∀name:Atom. T[Vname]
5. ∀value:C. T[Const(value)]
6. ∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}])
7. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b])
8. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b])
9. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)])
10. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b])
11. ∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)])
12. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a])
13. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a])
14. var : Atom
15. body : Form(C)
16. (↑wfForm(body)) ⇒ (↑SafeForm(body)) ⇒ if termForm(body) then T[body] else F[body] fi 
17. ↑(wfFormAux(body) ff)
18. ↑SafeForm(body)
⊢ F[∀var. body]

8
1. C : Type
2. [F] : PZF-Formula(C) ⟶ ℙ
3. [T] : PZF-Term(C) ⟶ ℙ
4. ∀name:Atom. T[Vname]
5. ∀value:C. T[Const(value)]
6. ∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}])
7. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b])
8. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b])
9. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)])
10. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b])
11. ∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)])
12. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a])
13. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a])
14. var : Atom
15. body : Form(C)
16. (↑wfForm(body)) ⇒ (↑SafeForm(body)) ⇒ if termForm(body) then T[body] else F[body] fi 
17. ↑(wfFormAux(body) ff)
18. ↑SafeForm(body)
⊢ F[∃var. body]

9
1. C : Type
2. [F] : PZF-Formula(C) ⟶ ℙ
3. [T] : PZF-Term(C) ⟶ ℙ
4. ∀name:Atom. T[Vname]
5. ∀value:C. T[Const(value)]
6. ∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}])
7. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b])
8. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b])
9. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)])
10. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b])
11. ∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)])
12. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a])
13. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a])
14. ∀v:Form(C). ((↑wfForm(v)) ⇒ (↑SafeForm(v)) ⇒ if termForm(v) then T[v] else F[v] fi )
15. phi : PZF-Formula(C)
⊢ F[phi]

10
1. C : Type
2. [F] : PZF-Formula(C) ⟶ ℙ
3. [T] : PZF-Term(C) ⟶ ℙ
4. ∀name:Atom. T[Vname]
5. ∀value:C. T[Const(value)]
6. ∀x:Atom. ∀phi:PZF-Formula(C).  (F[phi] ⇒ PZF-safe(phi;[x]) ⇒ T[{x | phi}])
7. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a = b])
8. ∀a,b:PZF-Term(C).  (T[a] ⇒ T[b] ⇒ F[a ∈ b])
9. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∧ b)])
10. ∀a,b:PZF-Formula(C).  (F[a] ⇒ F[b] ⇒ F[a ∨ b])
11. ∀a:PZF-Formula(C). (F[a] ⇒ F[¬(a)])
12. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∀x. a])
13. ∀a:PZF-Formula(C). ∀x:Atom.  (F[a] ⇒ F[∃x. a])
14. ∀v:Form(C). ((↑wfForm(v)) ⇒ (↑SafeForm(v)) ⇒ if termForm(v) then T[v] else F[v] fi )
15. ∀phi:PZF-Formula(C). F[phi]
16. t : PZF-Term(C)
⊢ T[t]

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}C:Type
    \mforall{}[F:PZF-Formula(C)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[T:PZF-Term(C)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
        ((\mforall{}name:Atom.  T[Vname])
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}value:C.  T[Const(value)])
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:Atom.  \mforall{}phi:PZF-Formula(C).    (F[phi]  {}\mRightarrow{}  PZF-safe(phi;[x])  {}\mRightarrow{}  T[\{x  |  phi\}]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a,b:PZF-Term(C).    (T[a]  {}\mRightarrow{}  T[b]  {}\mRightarrow{}  F[a  =  b]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a,b:PZF-Term(C).    (T[a]  {}\mRightarrow{}  T[b]  {}\mRightarrow{}  F[a  \mmember{}  b]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a,b:PZF-Formula(C).    (F[a]  {}\mRightarrow{}  F[b]  {}\mRightarrow{}  F[a  \mwedge{}  b)]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a,b:PZF-Formula(C).    (F[a]  {}\mRightarrow{}  F[b]  {}\mRightarrow{}  F[a  \mvee{}  b]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:PZF-Formula(C).  (F[a]  {}\mRightarrow{}  F[\mneg{}(a)]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:PZF-Formula(C).  \mforall{}x:Atom.    (F[a]  {}\mRightarrow{}  F[\mforall{}x.  a]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:PZF-Formula(C).  \mforall{}x:Atom.    (F[a]  {}\mRightarrow{}  F[\mexists{}x.  a]))
        {}\mRightarrow{}  ((\mforall{}phi:PZF-Formula(C).  F[phi])  \mwedge{}  (\mforall{}t:PZF-Term(C).  T[t])))


By

---

Latex:
(RepeatFor  13  (Intro)
  THEN  (InstLemma  `Form-induction`  [\mkleeneopen{}C\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}f.(\muparrow{}wfForm(f))
                                                                                {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}SafeForm(f))
                                                                                {}\mRightarrow{}  if  termForm(f)  then  T[f]  else  F[f]  fi  \mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENW  Auto
              )
  THEN  RepUR  ``wfForm  wfFormAux  termForm  SafeForm``  0
  THEN  Try  (Folds  ``SafeForm  termForm  wfFormAux``  0\mcdot{})
  THEN  Try  (Fold  `wfForm`  0)
  THEN  Auto)

---

Home Index