---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma bag-summation-from-upto


1. n : ℤ
2. 0 < n
3. ∀[a,b:ℤ].  (b - a < n - 1 ⇒ (∀[f:{a..b-} ⟶ ℤ]. (Σ(i∈[a, b)). f[i] = Σ(f[j + a] | j < b - a) ∈ ℤ)))
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. b - a < n
7. f : {a..b-} ⟶ ℤ
8. a < b
9. ∀[f:{a + 1..b-} ⟶ ℤ]. (Σ(i∈[a + 1, b)). f[i] = Σ(f[j + a + 1] | j < b - a + 1) ∈ ℤ)
10. Σ(i∈[a + 1, b)). f[i - 1] = Σ(f[(j + a + 1) - 1] | j < b - a + 1) ∈ ℤ
⊢ Σ(i∈[a, b)). f[i] = (Σ(f[j + a] | j < b - a + 1) + f[b - 1]) ∈ ℤ
BY
{ TACTIC:Subst' Σ(f[(j + a + 1) - 1] | j < b - a + 1) ~ Σ(f[j + a] | j < b - a + 1) -1 }

1
.....equality..... 
1. n : ℤ
2. 0 < n
3. ∀[a,b:ℤ].  (b - a < n - 1 ⇒ (∀[f:{a..b-} ⟶ ℤ]. (Σ(i∈[a, b)). f[i] = Σ(f[j + a] | j < b - a) ∈ ℤ)))
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. b - a < n
7. f : {a..b-} ⟶ ℤ
8. a < b
9. ∀[f:{a + 1..b-} ⟶ ℤ]. (Σ(i∈[a + 1, b)). f[i] = Σ(f[j + a + 1] | j < b - a + 1) ∈ ℤ)
10. Σ(i∈[a + 1, b)). f[i - 1] = Σ(f[(j + a + 1) - 1] | j < b - a + 1) ∈ ℤ
⊢ Σ(f[(j + a + 1) - 1] | j < b - a + 1) ~ Σ(f[j + a] | j < b - a + 1)

2
1. n : ℤ
2. 0 < n
3. ∀[a,b:ℤ].  (b - a < n - 1 ⇒ (∀[f:{a..b-} ⟶ ℤ]. (Σ(i∈[a, b)). f[i] = Σ(f[j + a] | j < b - a) ∈ ℤ)))
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. b - a < n
7. f : {a..b-} ⟶ ℤ
8. a < b
9. ∀[f:{a + 1..b-} ⟶ ℤ]. (Σ(i∈[a + 1, b)). f[i] = Σ(f[j + a + 1] | j < b - a + 1) ∈ ℤ)
10. Σ(i∈[a + 1, b)). f[i - 1] = Σ(f[j + a] | j < b - a + 1) ∈ ℤ
⊢ Σ(i∈[a, b)). f[i] = (Σ(f[j + a] | j < b - a + 1) + f[b - 1]) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  0  <  n
3.  \mforall{}[a,b:\mBbbZ{}].    (b  -  a  <  n  -  1  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[f:\{a..b\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].  (\mSigma{}(i\mmember{}[a,  b)).  f[i]  =  \mSigma{}(f[j  +  a]  |  j  <  b  -  a))))
4.  a  :  \mBbbZ{}
5.  b  :  \mBbbZ{}
6.  b  -  a  <  n
7.  f  :  \{a..b\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
8.  a  <  b
9.  \mforall{}[f:\{a  +  1..b\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].  (\mSigma{}(i\mmember{}[a  +  1,  b)).  f[i]  =  \mSigma{}(f[j  +  a  +  1]  |  j  <  b  -  a  +  1))
10.  \mSigma{}(i\mmember{}[a  +  1,  b)).  f[i  -  1]  =  \mSigma{}(f[(j  +  a  +  1)  -  1]  |  j  <  b  -  a  +  1)
\mvdash{}  \mSigma{}(i\mmember{}[a,  b)).  f[i]  =  (\mSigma{}(f[j  +  a]  |  j  <  b  -  a  +  1)  +  f[b  -  1])


By

---

Latex:
TACTIC:Subst'  \mSigma{}(f[(j  +  a  +  1)  -  1]  |  j  <  b  -  a  +  1)  \msim{}  \mSigma{}(f[j  +  a]  |  j  <  b  -  a  +  1)  -1

---

Home Index