---

Step * of Lemma bag-summation-linear1

∀[T,R:Type]. ∀[add,mul:R ⟶ R ⟶ R]. ∀[zero:R]. ∀[b:bag(T)]. ∀[f:T ⟶ R].
  ∀a:R. (Σ(x∈b). a mul f[x] = (a mul Σ(x∈b). f[x]) ∈ R) 
  supposing (∃minus:R ⟶ R. IsGroup(R;add;zero;minus)) ∧ Comm(R;add) ∧ BiLinear(R;add;mul)
BY
{ (InstLemma `bag-summation-linear` []
   THEN RepeatFor 7 (ParallelLast')
   THEN Auto
   THEN (InstHyp [⌜λ2x.zero⌝;⌜a⌝] (-5)⋅ THENA Auto)
   THEN (NthHypEq (-1) THEN RepeatFor 2 ((EqCD THEN Auto)))
   THEN ExRepD
   THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. R : Type
3. add : R ⟶ R ⟶ R
4. mul : R ⟶ R ⟶ R
5. zero : R
6. b : bag(T)
7. f : T ⟶ R
8. ∀[g:T ⟶ R]
     ∀a:R. (Σ(x∈b). a mul (f[x] add g[x]) = (a mul (Σ(x∈b). f[x] add Σ(x∈b). g[x])) ∈ R) 
     supposing (∃minus:R ⟶ R. IsGroup(R;add;zero;minus)) ∧ Comm(R;add) ∧ BiLinear(R;add;mul)
9. minus : R ⟶ R
10. IsGroup(R;add;zero;minus)
11. Comm(R;add)
12. BiLinear(R;add;mul)
13. a : R
14. Σ(x∈b). a mul (f[x] add zero) = (a mul (Σ(x∈b). f[x] add Σ(x∈b). zero)) ∈ R
15. x : T
⊢ (a mul f[x]) = (a mul (f[x] add zero)) ∈ R

2
1. T : Type
2. R : Type
3. add : R ⟶ R ⟶ R
4. mul : R ⟶ R ⟶ R
5. zero : R
6. b : bag(T)
7. f : T ⟶ R
8. ∀[g:T ⟶ R]
     ∀a:R. (Σ(x∈b). a mul (f[x] add g[x]) = (a mul (Σ(x∈b). f[x] add Σ(x∈b). g[x])) ∈ R) 
     supposing (∃minus:R ⟶ R. IsGroup(R;add;zero;minus)) ∧ Comm(R;add) ∧ BiLinear(R;add;mul)
9. minus : R ⟶ R
10. IsGroup(R;add;zero;minus)
11. Comm(R;add)
12. BiLinear(R;add;mul)
13. a : R
14. Σ(x∈b). a mul (f[x] add zero) = (a mul (Σ(x∈b). f[x] add Σ(x∈b). zero)) ∈ R
⊢ Σ(x∈b). f[x] = (Σ(x∈b). f[x] add Σ(x∈b). zero) ∈ R

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[T,R:Type].  \mforall{}[add,mul:R  {}\mrightarrow{}  R  {}\mrightarrow{}  R].  \mforall{}[zero:R].  \mforall{}[b:bag(T)].  \mforall{}[f:T  {}\mrightarrow{}  R].
    \mforall{}a:R.  (\mSigma{}(x\mmember{}b).  a  mul  f[x]  =  (a  mul  \mSigma{}(x\mmember{}b).  f[x])) 
    supposing  (\mexists{}minus:R  {}\mrightarrow{}  R.  IsGroup(R;add;zero;minus))  \mwedge{}  Comm(R;add)  \mwedge{}  BiLinear(R;add;mul)


By

---

Latex:
(InstLemma  `bag-summation-linear`  []
  THEN  RepeatFor  7  (ParallelLast')
  THEN  Auto
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.zero\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (NthHypEq  (-1)  THEN  RepeatFor  2  ((EqCD  THEN  Auto)))
  THEN  ExRepD
  THEN  Auto)

---

Home Index