---

Step * 1 of Lemma bag-summation-single-non-zero

.....equality..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. R : Type
4. add : R ⟶ R ⟶ R
5. zero : R
6. b : bag(T)
7. ∀[p:T ⟶ 𝔹]. ∀[f:T ⟶ R].
     Σ(x∈b). f[x] = (Σ(x∈[x∈b|p[x]]). f[x] add Σ(x∈[x∈b|¬bp[x]]). f[x]) ∈ R supposing IsMonoid(R;add;zero) ∧ Comm(R;add)
8. f : T ⟶ R
9. IsMonoid(R;add;zero)
10. Comm(R;add)
11. z : T
12. ∀x:T. (x ↓∈ b ⇒ ((x = z ∈ T) ∨ (f[x] = zero ∈ R)))
13. Σ(x∈b). f[x] = (Σ(x∈[x∈b|eq x z]). f[x] add Σ(x∈[x∈b|¬b(eq x z)]). f[x]) ∈ R
⊢ Σ(x∈[x∈b|¬b(eq x z)]). f[x] = zero ∈ R
BY
{ (BLemma `bag-summation-is-zero` THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. R : Type
4. add : R ⟶ R ⟶ R
5. zero : R
6. b : bag(T)
7. ∀[p:T ⟶ 𝔹]. ∀[f:T ⟶ R].
     Σ(x∈b). f[x] = (Σ(x∈[x∈b|p[x]]). f[x] add Σ(x∈[x∈b|¬bp[x]]). f[x]) ∈ R supposing IsMonoid(R;add;zero) ∧ Comm(R;add)
8. f : T ⟶ R
9. IsMonoid(R;add;zero)
10. Comm(R;add)
11. z : T
12. ∀x:T. (x ↓∈ b ⇒ ((x = z ∈ T) ∨ (f[x] = zero ∈ R)))
13. Σ(x∈b). f[x] = (Σ(x∈[x∈b|eq x z]). f[x] add Σ(x∈[x∈b|¬b(eq x z)]). f[x]) ∈ R
14. x : {x:T| ↑¬b(eq x z)} 
15. x ↓∈ [x∈b|¬b(eq x z)]
⊢ f[x] = zero ∈ R

---

Latex:

---

Latex:
.....equality..... 
1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  R  :  Type
4.  add  :  R  {}\mrightarrow{}  R  {}\mrightarrow{}  R
5.  zero  :  R
6.  b  :  bag(T)
7.  \mforall{}[p:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].  \mforall{}[f:T  {}\mrightarrow{}  R].
          \mSigma{}(x\mmember{}b).  f[x]  =  (\mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}b|p[x]]).  f[x]  add  \mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}b|\mneg{}\msubb{}p[x]]).  f[x]) 
          supposing  IsMonoid(R;add;zero)  \mwedge{}  Comm(R;add)
8.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  R
9.  IsMonoid(R;add;zero)
10.  Comm(R;add)
11.  z  :  T
12.  \mforall{}x:T.  (x  \mdownarrow{}\mmember{}  b  {}\mRightarrow{}  ((x  =  z)  \mvee{}  (f[x]  =  zero)))
13.  \mSigma{}(x\mmember{}b).  f[x]  =  (\mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}b|eq  x  z]).  f[x]  add  \mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}b|\mneg{}\msubb{}(eq  x  z)]).  f[x])
\mvdash{}  \mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}b|\mneg{}\msubb{}(eq  x  z)]).  f[x]  =  zero


By

---

Latex:
(BLemma  `bag-summation-is-zero`  THEN  Auto)

---

Home Index