---

Step * 1 2 of Lemma concat-lifting-list-member


1. B : Type
2. n : ℕ
3. A : ℕn ⟶ Type
4. bags : k:ℕn ⟶ bag(A k)
5. b : B
6. p : ℤ
7. 0 < p
8. 0 ≤ n - p - 1 < n + 1
⇒ (∀f:funtype(n - n - p - 1;λx.(A (x + (n - p - 1)));bag(B))
      (b ↓∈ concat-lifting-list(n;bags) (n - p - 1) f
      ⇒ (↓∃lst:k:{n - p - 1..n-} ⟶ (A k)
            ((∀[k:{n - p - 1..n-}]. lst k ↓∈ bags k) ∧ b ↓∈ uncurry-gen(n) (n - p - 1) (λx.f) lst))))
9. 0 ≤ n - p < n + 1
10. f : funtype(n - n - p;λx.(A (x + (n - p)));bag(B))
11. b ↓∈ concat-lifting-list(n;bags) (n - p) f
⊢ ↓∃lst:k:{n - p..n-} ⟶ (A k). ((∀[k:{n - p..n-}]. lst k ↓∈ bags k) ∧ b ↓∈ uncurry-gen(n) (n - p) (λx.f) lst)
BY
{ ((Subst ⌜n - p - 1 ~ (n - p) + 1⌝ (-4)⋅ THENA Auto)
   THEN (D (-4) THENA Auto')
   THEN Unfold `concat-lifting-list` (-2)
   THEN (RecUnfold `lifting-gen-list-rev` (-2) THEN Reduce (-2))
   THEN (Subst ⌜(n =z n - p) ~ ff⌝ (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN Reduce (-2)
   THEN (FLemma `bag-member-union` [-2] THENA Auto')) }

1
1. B : Type
2. n : ℕ
3. A : ℕn ⟶ Type
4. bags : k:ℕn ⟶ bag(A k)
5. b : B
6. p : ℤ
7. 0 < p
8. 0 ≤ (n - p)
9. n - p < n + 1
10. f : funtype(n - n - p;λx.(A (x + (n - p)));bag(B))
11. b ↓∈ bag-union(⋃x∈bags (n - p).lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f x))
12. ∀f:funtype(n - (n - p) + 1;λx.(A (x + (n - p) + 1));bag(B))
      (b ↓∈ concat-lifting-list(n;bags) ((n - p) + 1) f
      ⇒ (↓∃lst:k:{(n - p) + 1..n-} ⟶ (A k)
            ((∀[k:{(n - p) + 1..n-}]. lst k ↓∈ bags k) ∧ b ↓∈ uncurry-gen(n) ((n - p) + 1) (λx.f) lst)))
13. x : A (n - p)
⊢ lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f x) ∈ bag(bag(B))

2
1. B : Type
2. n : ℕ
3. A : ℕn ⟶ Type
4. bags : k:ℕn ⟶ bag(A k)
5. b : B
6. p : ℤ
7. 0 < p
8. 0 ≤ n - p < n + 1
9. f : funtype(n - n - p;λx.(A (x + (n - p)));bag(B))
10. b ↓∈ bag-union(⋃x∈bags (n - p).lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f x))
11. ∀f:funtype(n - (n - p) + 1;λx.(A (x + (n - p) + 1));bag(B))
      (b ↓∈ concat-lifting-list(n;bags) ((n - p) + 1) f
      ⇒ (↓∃lst:k:{(n - p) + 1..n-} ⟶ (A k)
            ((∀[k:{(n - p) + 1..n-}]. lst k ↓∈ bags k) ∧ b ↓∈ uncurry-gen(n) ((n - p) + 1) (λx.f) lst)))
12. ↓∃b1:bag(B). (b ↓∈ b1 ∧ b1 ↓∈ ⋃x∈bags (n - p).lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f x))
⊢ ↓∃lst:k:{n - p..n-} ⟶ (A k). ((∀[k:{n - p..n-}]. lst k ↓∈ bags k) ∧ b ↓∈ uncurry-gen(n) (n - p) (λx.f) lst)

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  Type
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  A  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  Type
4.  bags  :  k:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  bag(A  k)
5.  b  :  B
6.  p  :  \mBbbZ{}
7.  0  <  p
8.  0  \mleq{}  n  -  p  -  1  <  n  +  1
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:funtype(n  -  n  -  p  -  1;\mlambda{}x.(A  (x  +  (n  -  p  -  1)));bag(B))
            (b  \mdownarrow{}\mmember{}  concat-lifting-list(n;bags)  (n  -  p  -  1)  f
            {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}lst:k:\{n  -  p  -  1..n\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  (A  k)
                        ((\mforall{}[k:\{n  -  p  -  1..n\msupminus{}\}].  lst  k  \mdownarrow{}\mmember{}  bags  k)
                        \mwedge{}  b  \mdownarrow{}\mmember{}  uncurry-gen(n)  (n  -  p  -  1)  (\mlambda{}x.f)  lst))))
9.  0  \mleq{}  n  -  p  <  n  +  1
10.  f  :  funtype(n  -  n  -  p;\mlambda{}x.(A  (x  +  (n  -  p)));bag(B))
11.  b  \mdownarrow{}\mmember{}  concat-lifting-list(n;bags)  (n  -  p)  f
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}lst:k:\{n  -  p..n\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  (A  k)
        ((\mforall{}[k:\{n  -  p..n\msupminus{}\}].  lst  k  \mdownarrow{}\mmember{}  bags  k)  \mwedge{}  b  \mdownarrow{}\mmember{}  uncurry-gen(n)  (n  -  p)  (\mlambda{}x.f)  lst)


By

---

Latex:
((Subst  \mkleeneopen{}n  -  p  -  1  \msim{}  (n  -  p)  +  1\mkleeneclose{}  (-4)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  (-4)  THENA  Auto')
  THEN  Unfold  `concat-lifting-list`  (-2)
  THEN  (RecUnfold  `lifting-gen-list-rev`  (-2)  THEN  Reduce  (-2))
  THEN  (Subst  \mkleeneopen{}(n  =\msubz{}  n  -  p)  \msim{}  ff\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  (-2)
  THEN  (FLemma  `bag-member-union`  [-2]  THENA  Auto'))

---

Home Index