---

Step * 2 2 1 1 3 of Lemma concat-lifting-list-member


1. B : Type
2. n : ℕ
3. A : ℕn ⟶ Type
4. bags : k:ℕn ⟶ bag(A k)
5. b : B
6. p : ℤ
7. 0 < p
8. 0 ≤ (n - p)
9. n - p < n + 1
10. f : (A (0 + (n - p))) ⟶ funtype(p - 1;λi.(A ((i + 1) + (n - p)));bag(B))
11. lst : k:{n - p..n-} ⟶ (A k)
12. ∀[k:{n - p..n-}]. lst k ↓∈ bags k
13. b ↓∈ uncurry-gen(n) (n - p) (λx.f) lst
14. ∀f:funtype(p - 1;λx.(A (x + (n - p) + 1));bag(B))
      ((↓∃lst:k:{(n - p) + 1..n-} ⟶ (A k)
          ((∀[k:{(n - p) + 1..n-}]. lst k ↓∈ bags k) ∧ b ↓∈ uncurry-gen(n) ((n - p) + 1) (λx.f) lst))
      ⇒ b ↓∈ bag-union(lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) f))
15. b ↓∈ bag-union(lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f (lst (n - p))))
⊢ ↓∃b@0:bag(B). (b ↓∈ b@0 ∧ b@0 ↓∈ ⋃x∈bags (n - p).lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f x))
BY
{ (FLemma `bag-member-union` [-1] THENA Auto)⋅ }

1
.....wf..... 
1. B : Type
2. n : ℕ
3. A : ℕn ⟶ Type
4. bags : k:ℕn ⟶ bag(A k)
5. b : B
6. p : ℤ
7. 0 < p
8. 0 ≤ (n - p)
9. n - p < n + 1
10. f : (A (0 + (n - p))) ⟶ funtype(p - 1;λi.(A ((i + 1) + (n - p)));bag(B))
11. lst : k:{n - p..n-} ⟶ (A k)
12. ∀[k:{n - p..n-}]. lst k ↓∈ bags k
13. b ↓∈ uncurry-gen(n) (n - p) (λx.f) lst
14. ∀f:funtype(p - 1;λx.(A (x + (n - p) + 1));bag(B))
      ((↓∃lst:k:{(n - p) + 1..n-} ⟶ (A k)
          ((∀[k:{(n - p) + 1..n-}]. lst k ↓∈ bags k) ∧ b ↓∈ uncurry-gen(n) ((n - p) + 1) (λx.f) lst))
      ⇒ b ↓∈ bag-union(lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) f))
15. b ↓∈ bag-union(lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f (lst (n - p))))
⊢ lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f (lst (n - p))) ∈ bag(bag(B))

2
1. B : Type
2. n : ℕ
3. A : ℕn ⟶ Type
4. bags : k:ℕn ⟶ bag(A k)
5. b : B
6. p : ℤ
7. 0 < p
8. 0 ≤ (n - p)
9. n - p < n + 1
10. f : (A (0 + (n - p))) ⟶ funtype(p - 1;λi.(A ((i + 1) + (n - p)));bag(B))
11. lst : k:{n - p..n-} ⟶ (A k)
12. ∀[k:{n - p..n-}]. lst k ↓∈ bags k
13. b ↓∈ uncurry-gen(n) (n - p) (λx.f) lst
14. ∀f:funtype(p - 1;λx.(A (x + (n - p) + 1));bag(B))
      ((↓∃lst:k:{(n - p) + 1..n-} ⟶ (A k)
          ((∀[k:{(n - p) + 1..n-}]. lst k ↓∈ bags k) ∧ b ↓∈ uncurry-gen(n) ((n - p) + 1) (λx.f) lst))
      ⇒ b ↓∈ bag-union(lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) f))
15. b ↓∈ bag-union(lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f (lst (n - p))))
16. ↓∃b1:bag(B). (b ↓∈ b1 ∧ b1 ↓∈ lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f (lst (n - p))))
⊢ ↓∃b@0:bag(B). (b ↓∈ b@0 ∧ b@0 ↓∈ ⋃x∈bags (n - p).lifting-gen-list-rev(n;bags) ((n - p) + 1) (f x))

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  Type
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  A  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  Type
4.  bags  :  k:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  bag(A  k)
5.  b  :  B
6.  p  :  \mBbbZ{}
7.  0  <  p
8.  0  \mleq{}  (n  -  p)
9.  n  -  p  <  n  +  1
10.  f  :  (A  (0  +  (n  -  p)))  {}\mrightarrow{}  funtype(p  -  1;\mlambda{}i.(A  ((i  +  1)  +  (n  -  p)));bag(B))
11.  lst  :  k:\{n  -  p..n\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  (A  k)
12.  \mforall{}[k:\{n  -  p..n\msupminus{}\}].  lst  k  \mdownarrow{}\mmember{}  bags  k
13.  b  \mdownarrow{}\mmember{}  uncurry-gen(n)  (n  -  p)  (\mlambda{}x.f)  lst
14.  \mforall{}f:funtype(p  -  1;\mlambda{}x.(A  (x  +  (n  -  p)  +  1));bag(B))
            ((\mdownarrow{}\mexists{}lst:k:\{(n  -  p)  +  1..n\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  (A  k)
                    ((\mforall{}[k:\{(n  -  p)  +  1..n\msupminus{}\}].  lst  k  \mdownarrow{}\mmember{}  bags  k)
                    \mwedge{}  b  \mdownarrow{}\mmember{}  uncurry-gen(n)  ((n  -  p)  +  1)  (\mlambda{}x.f)  lst))
            {}\mRightarrow{}  b  \mdownarrow{}\mmember{}  bag-union(lifting-gen-list-rev(n;bags)  ((n  -  p)  +  1)  f))
15.  b  \mdownarrow{}\mmember{}  bag-union(lifting-gen-list-rev(n;bags)  ((n  -  p)  +  1)  (f  (lst  (n  -  p))))
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}b@0:bag(B).  (b  \mdownarrow{}\mmember{}  b@0  \mwedge{}  b@0  \mdownarrow{}\mmember{}  \mcup{}x\mmember{}bags  (n  -  p).lifting-gen-list-rev(n;bags)  ((n  -  p)  +  1)  (f  x))


By

---

Latex:
(FLemma  `bag-member-union`  [-1]  THENA  Auto)\mcdot{}

---

Home Index