---

Step * 1 2 1 of Lemma bag-moebius-property1


1. T : Type
2. valueall-type(T)
3. eq : EqDecider(T)
4. b : T List
5. ¬(b = {} ∈ bag(T))
6. ∀[f:bag(T) ⟶ ℤ]
     Σ(x∈sub-bags(eq;b)). f[x]
     = (Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x] 
        (λx,y. (x + y)) 
        Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|¬bbag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x])
     ∈ ℤ 
     supposing IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0) ∧ Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
⊢ Σ(c∈sub-bags(eq;b)). bag-moebius(eq;c) = 0 ∈ ℤ
BY
{ ((Assert Comm(ℤ;λx,y. (x + y)) ∧ IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0) BY
          (D 0 THEN RepeatFor 2 ((D 0 THEN Reduce 0 THEN Auto))))
   THEN Reduce (-2)
   THEN (RWO "-2" 0 THENA (Auto THEN RepeatFor 2 ((D 0 THEN Reduce 0 THEN Auto))))
   THEN Subst' Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|¬bbag-has-no-repeats(eq;x)]). bag-moebius(eq;x) ~ 0 0) }

1
.....equality..... 
1. T : Type
2. valueall-type(T)
3. eq : EqDecider(T)
4. b : T List
5. ¬(b = {} ∈ bag(T))
6. ∀[f:bag(T) ⟶ ℤ]
     Σ(x∈sub-bags(eq;b)). f[x]
     = (Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x]
       + Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|¬bbag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x])
     ∈ ℤ 
     supposing IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0) ∧ Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
7. Comm(ℤ;λx,y. (x + y)) ∧ IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0)
⊢ Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|¬bbag-has-no-repeats(eq;x)]). bag-moebius(eq;x) ~ 0

2
1. T : Type
2. valueall-type(T)
3. eq : EqDecider(T)
4. b : T List
5. ¬(b = {} ∈ bag(T))
6. ∀[f:bag(T) ⟶ ℤ]
     Σ(x∈sub-bags(eq;b)). f[x]
     = (Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x]
       + Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|¬bbag-has-no-repeats(eq;x)]). f[x])
     ∈ ℤ 
     supposing IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0) ∧ Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
7. Comm(ℤ;λx,y. (x + y)) ∧ IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0)
⊢ (Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]). bag-moebius(eq;x) + 0) = 0 ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  valueall-type(T)
3.  eq  :  EqDecider(T)
4.  b  :  T  List
5.  \mneg{}(b  =  \{\})
6.  \mforall{}[f:bag(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}]
          \mSigma{}(x\mmember{}sub-bags(eq;b)).  f[x]
          =  (\mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}sub-bags(eq;b)|bag-has-no-repeats(eq;x)]).  f[x] 
                (\mlambda{}x,y.  (x  +  y)) 
                \mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}sub-bags(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-has-no-repeats(eq;x)]).  f[x]) 
          supposing  IsMonoid(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y);0)  \mwedge{}  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
\mvdash{}  \mSigma{}(c\mmember{}sub-bags(eq;b)).  bag-moebius(eq;c)  =  0


By

---

Latex:
((Assert  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))  \mwedge{}  IsMonoid(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y);0)  BY
                (D  0  THEN  RepeatFor  2  ((D  0  THEN  Reduce  0  THEN  Auto))))
  THEN  Reduce  (-2)
  THEN  (RWO  "-2"  0  THENA  (Auto  THEN  RepeatFor  2  ((D  0  THEN  Reduce  0  THEN  Auto))))
  THEN  Subst'  \mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}sub-bags(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-has-no-repeats(eq;x)]).  bag-moebius(eq;x)  \msim{}  0  0)

---

Home Index