---

Step * 1 1 1 1 1 1 2 1 of Lemma Euler-Fermat


1. n : {2...}
2. a : ℕ+
3. CoPrime(n,a)
4. Πx ∈ map(λi.(ai mod n);residues-mod(n)). x = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
5. Πx ∈ residues-mod(n). (ax mod n) = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
6. u : {x:ℤ| CoPrime(n,x)} 
7. v : {x:ℤ| CoPrime(n,x)}  List
8. M : ℤ
9. accumulate (with value c and list item x):
    x * c
   over list:
     v
   with starting value:
    (au mod n) * M) ≡ (accumulate (with value c and list item x):
                        x * c
                       over list:
                         v
                       with starting value:
                        u * M)
* a) mod n
⊢ (accumulate (with value c and list item x):
    x * c
   over list:
     v
   with starting value:
    u * M)
* a^(||v|| + 1)) ≡ ((accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: u * M) * a)
* a^||v||) mod n
BY
{ (GenConcl ⌜accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: u * M) = K ∈ ℤ⌝⋅
   THENA Auto
   ) }

1
1. n : {2...}
2. a : ℕ+
3. CoPrime(n,a)
4. Πx ∈ map(λi.(ai mod n);residues-mod(n)). x = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
5. Πx ∈ residues-mod(n). (ax mod n) = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
6. u : {x:ℤ| CoPrime(n,x)} 
7. v : {x:ℤ| CoPrime(n,x)}  List
8. M : ℤ
9. accumulate (with value c and list item x):
    x * c
   over list:
     v
   with starting value:
    (au mod n) * M) ≡ (accumulate (with value c and list item x):
                        x * c
                       over list:
                         v
                       with starting value:
                        u * M)
* a) mod n
10. K : ℤ
11. accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: u * M) = K ∈ ℤ
⊢ (K * a^(||v|| + 1)) ≡ ((K * a) * a^||v||) mod n

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{2...\}
2.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  CoPrime(n,a)
4.  \mPi{}x  \mmember{}  map(\mlambda{}i.(ai  mod  n);residues-mod(n)).  x  =  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  x
5.  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  (ax  mod  n)  =  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  x
6.  u  :  \{x:\mBbbZ{}|  CoPrime(n,x)\} 
7.  v  :  \{x:\mBbbZ{}|  CoPrime(n,x)\}    List
8.  M  :  \mBbbZ{}
9.  accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
        x  *  c
      over  list:
          v
      with  starting  value:
        (au  mod  n)  *  M)  \mequiv{}  (accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                                x  *  c
                                              over  list:
                                                  v
                                              with  starting  value:
                                                u  *  M)
*  a)  mod  n
\mvdash{}  (accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
        x  *  c
      over  list:
          v
      with  starting  value:
        u  *  M)
*  a\^{}(||v||  +  1))  \mequiv{}  ((accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                            x  *  c
                                          over  list:
                                              v
                                          with  starting  value:
                                            u  *  M)
*  a)
*  a\^{}||v||)  mod  n


By

---

Latex:
(GenConcl  \mkleeneopen{}accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                        x  *  c
                      over  list:
                          v
                      with  starting  value:
                        u  *  M)
                      =  K\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENA  Auto
  )

---

Home Index