---

Step * 2 of Lemma chinese-remainder2


1. r : ℤ
2. s : ℤ
3. a : ℤ
4. b : ℤ
5. g : ℕ
6. a1 : ℤ
7. b1 : ℤ
8. x : ℤ
9. y : ℤ
10. r = (a1 * g) ∈ ℤ
11. s = (b1 * g) ∈ ℤ
12. ((x * a1) + (y * b1)) = 1 ∈ ℤ
13. ¬(g = 0 ∈ ℤ)
14. (b - a rem g) = 0 ∈ ℤ
⊢ eval z = a + (x * ((b - a) ÷ g) * r) in
  inl z ∈ {x:ℤ| (x ≡ a mod r) ∧ (x ≡ b mod s)}  + ({x:ℤ| (x ≡ a mod r) ∧ (x ≡ b mod s)}  ⇒ False)
BY
{ ((Assert (b - a) = (((b - a) ÷ g) * g) ∈ ℤ BY
          (InstLemma `div_rem_sum` [⌜b - a⌝;⌜g⌝]⋅ THEN Auto'))
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConcl ⌜((b - a) ÷ g) = c ∈ ℤ⌝⋅
   THEN Auto) }

1
1. r : ℤ
2. s : ℤ
3. a : ℤ
4. b : ℤ
5. g : ℕ
6. a1 : ℤ
7. b1 : ℤ
8. x : ℤ
9. y : ℤ
10. r = (a1 * g) ∈ ℤ
11. s = (b1 * g) ∈ ℤ
12. ((x * a1) + (y * b1)) = 1 ∈ ℤ
13. ¬(g = 0 ∈ ℤ)
14. (b - a rem g) = 0 ∈ ℤ
15. c : ℤ
16. ((b - a) ÷ g) = c ∈ ℤ
17. (b - a) = (c * g) ∈ ℤ
⊢ a + (x * c * r) ∈ {x:ℤ| (x ≡ a mod r) ∧ (x ≡ b mod s)} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  \mBbbZ{}
2.  s  :  \mBbbZ{}
3.  a  :  \mBbbZ{}
4.  b  :  \mBbbZ{}
5.  g  :  \mBbbN{}
6.  a1  :  \mBbbZ{}
7.  b1  :  \mBbbZ{}
8.  x  :  \mBbbZ{}
9.  y  :  \mBbbZ{}
10.  r  =  (a1  *  g)
11.  s  =  (b1  *  g)
12.  ((x  *  a1)  +  (y  *  b1))  =  1
13.  \mneg{}(g  =  0)
14.  (b  -  a  rem  g)  =  0
\mvdash{}  eval  z  =  a  +  (x  *  ((b  -  a)  \mdiv{}  g)  *  r)  in
    inl  z  \mmember{}  \{x:\mBbbZ{}|  (x  \mequiv{}  a  mod  r)  \mwedge{}  (x  \mequiv{}  b  mod  s)\}    +  (\{x:\mBbbZ{}|  (x  \mequiv{}  a  mod  r)  \mwedge{}  (x  \mequiv{}  b  mod  s)\}    {}\mRightarrow{}  False)


By

---

Latex:
((Assert  (b  -  a)  =  (((b  -  a)  \mdiv{}  g)  *  g)  BY
                (InstLemma  `div\_rem\_sum`  [\mkleeneopen{}b  -  a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto'))
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConcl  \mkleeneopen{}((b  -  a)  \mdiv{}  g)  =  c\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index