---

Step * 2 1 2 1 1 1 2 of Lemma divisor-in-range


1. n : {2...}
2. [n@0] : ℕ
3. ∀[m:ℕn@0]
     ∀i:{1...}. ∀j:{i..i + m-}.
       (∃m:ℤ [(m < n ∧ (2 ≤ m) ∧ (m | n))]) ∨ (¬(∃m:ℤ [((2 ≤ m) ∧ (i ≤ m) ∧ (m ≤ j) ∧ (m | n))])) supposing j < n
4. i : {1...}
5. j : {i..i + n@0-}
6. j < n
7. p : ℤ
8. p = iseg_product_rem(i;j;n) ∈ ℤ
9. g : ℤ
10. g = gcd(n;iseg_product(i;j)) ∈ ℤ
11. 1 < g
12. ¬g < n
13. i < j
14. (i ≤ (i + ((j - i) ÷ 2))) ∧ i + ((j - i) ÷ 2) < j
15. mid : ℤ
16. mid = (i + ((j - i) ÷ 2)) ∈ ℤ
17. ¬(∃m:ℤ [((2 ≤ m) ∧ (i ≤ m) ∧ (m ≤ mid) ∧ (m | n))])
⊢ (∃m:ℤ [(m < n ∧ (2 ≤ m) ∧ (m | n))]) ∨ (¬(∃m:ℤ [((2 ≤ m) ∧ (i ≤ m) ∧ (m ≤ j) ∧ (m | n))]))
BY
{ (Evaluate ⌜mid' = (mid + 1) ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)⋅ }

1
1. n : {2...}
2. [n@0] : ℕ
3. ∀[m:ℕn@0]
     ∀i:{1...}. ∀j:{i..i + m-}.
       (∃m:ℤ [(m < n ∧ (2 ≤ m) ∧ (m | n))]) ∨ (¬(∃m:ℤ [((2 ≤ m) ∧ (i ≤ m) ∧ (m ≤ j) ∧ (m | n))])) supposing j < n
4. i : {1...}
5. j : {i..i + n@0-}
6. j < n
7. p : ℤ
8. p = iseg_product_rem(i;j;n) ∈ ℤ
9. g : ℤ
10. g = gcd(n;iseg_product(i;j)) ∈ ℤ
11. 1 < g
12. ¬g < n
13. i < j
14. (i ≤ (i + ((j - i) ÷ 2))) ∧ i + ((j - i) ÷ 2) < j
15. mid : ℤ
16. mid = (i + ((j - i) ÷ 2)) ∈ ℤ
17. ¬(∃m:ℤ [((2 ≤ m) ∧ (i ≤ m) ∧ (m ≤ mid) ∧ (m | n))])
18. mid' : ℤ
19. mid' = (mid + 1) ∈ ℤ
⊢ (∃m:ℤ [(m < n ∧ (2 ≤ m) ∧ (m | n))]) ∨ (¬(∃m:ℤ [((2 ≤ m) ∧ (i ≤ m) ∧ (m ≤ j) ∧ (m | n))]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{2...\}
2.  [n@0]  :  \mBbbN{}
3.  \mforall{}[m:\mBbbN{}n@0]
          \mforall{}i:\{1...\}.  \mforall{}j:\{i..i  +  m\msupminus{}\}.
              (\mexists{}m:\mBbbZ{}  [(m  <  n  \mwedge{}  (2  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (m  |  n))])  \mvee{}  (\mneg{}(\mexists{}m:\mBbbZ{}  [((2  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (i  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (m  \mleq{}  j)  \mwedge{}  (m  |  n))])) 
              supposing  j  <  n
4.  i  :  \{1...\}
5.  j  :  \{i..i  +  n@0\msupminus{}\}
6.  j  <  n
7.  p  :  \mBbbZ{}
8.  p  =  iseg\_product\_rem(i;j;n)
9.  g  :  \mBbbZ{}
10.  g  =  gcd(n;iseg\_product(i;j))
11.  1  <  g
12.  \mneg{}g  <  n
13.  i  <  j
14.  (i  \mleq{}  (i  +  ((j  -  i)  \mdiv{}  2)))  \mwedge{}  i  +  ((j  -  i)  \mdiv{}  2)  <  j
15.  mid  :  \mBbbZ{}
16.  mid  =  (i  +  ((j  -  i)  \mdiv{}  2))
17.  \mneg{}(\mexists{}m:\mBbbZ{}  [((2  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (i  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (m  \mleq{}  mid)  \mwedge{}  (m  |  n))])
\mvdash{}  (\mexists{}m:\mBbbZ{}  [(m  <  n  \mwedge{}  (2  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (m  |  n))])  \mvee{}  (\mneg{}(\mexists{}m:\mBbbZ{}  [((2  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (i  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (m  \mleq{}  j)  \mwedge{}  (m  |  n))]))


By

---

Latex:
(Evaluate  \mkleeneopen{}mid'  =  (mid  +  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)\mcdot{}

---

Home Index