---

Step * 1 2 1 1 1 3 of Lemma divisor-test_wf


1. d : ℕ
2. ∀d:ℕd. ∀n:ℕ. ∀i:ℕ+. ∀j:ℤ.
     (((j - i) ≤ d) ⇒ j < n ⇒ (i ≤ j) ⇒ (divisor-test(n;i;j) ∈ {n1:ℤ| n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n)}  ∨ (gcd(n;iseg_pr\000Coduct(i;j)) = 1 ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. i : ℕ+
5. j : ℤ
6. (j - i) ≤ d
7. j < n
8. i ≤ j
9. 1 < gcd(n;iseg_product(i;j))
10. n ≤ gcd(n;iseg_product(i;j))
11. i < j
⊢ case divisor-test(n;i;i + ((j - i) ÷ 2))
   of inl(x) =>
   inl x
   | inr(x) =>
   eval k' = (i + ((j - i) ÷ 2)) + 1 in
   divisor-test(n;k';j) ∈ {n1:ℤ| n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n)}  + (gcd(n;iseg_product(i;j)) = 1 ∈ ℤ)
BY
{ (Assert (i ≤ (i + ((j - i) ÷ 2))) ∧ i + ((j - i) ÷ 2) < j BY
         ((InstLemma `div_rem_sum` [⌜j - i⌝;⌜2⌝]⋅ THENA Auto)
          THEN (InstLemma `rem_bounds_1` [⌜j - i⌝;⌜2⌝]⋅ THENA Auto)
          THEN Auto')) }

1
1. d : ℕ
2. ∀d:ℕd. ∀n:ℕ. ∀i:ℕ+. ∀j:ℤ.
     (((j - i) ≤ d) ⇒ j < n ⇒ (i ≤ j) ⇒ (divisor-test(n;i;j) ∈ {n1:ℤ| n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n)}  ∨ (gcd(n;iseg_pr\000Coduct(i;j)) = 1 ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. i : ℕ+
5. j : ℤ
6. (j - i) ≤ d
7. j < n
8. i ≤ j
9. 1 < gcd(n;iseg_product(i;j))
10. n ≤ gcd(n;iseg_product(i;j))
11. i < j
12. (i ≤ (i + ((j - i) ÷ 2))) ∧ i + ((j - i) ÷ 2) < j
⊢ case divisor-test(n;i;i + ((j - i) ÷ 2))
   of inl(x) =>
   inl x
   | inr(x) =>
   eval k' = (i + ((j - i) ÷ 2)) + 1 in
   divisor-test(n;k';j) ∈ {n1:ℤ| n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n)}  + (gcd(n;iseg_product(i;j)) = 1 ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  d  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}d:\mBbbN{}d.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}j:\mBbbZ{}.
          (((j  -  i)  \mleq{}  d)
          {}\mRightarrow{}  j  <  n
          {}\mRightarrow{}  (i  \mleq{}  j)
          {}\mRightarrow{}  (divisor-test(n;i;j)  \mmember{}  \{n1:\mBbbZ{}|  n1  <  n  \mwedge{}  (2  \mleq{}  n1)  \mwedge{}  (n1  |  n)\}    \mvee{}  (gcd(n;iseg\_product(i;j))  =  1\000C)))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  i  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  j  :  \mBbbZ{}
6.  (j  -  i)  \mleq{}  d
7.  j  <  n
8.  i  \mleq{}  j
9.  1  <  gcd(n;iseg\_product(i;j))
10.  n  \mleq{}  gcd(n;iseg\_product(i;j))
11.  i  <  j
\mvdash{}  case  divisor-test(n;i;i  +  ((j  -  i)  \mdiv{}  2))
      of  inl(x)  =>
      inl  x
      |  inr(x)  =>
      eval  k'  =  (i  +  ((j  -  i)  \mdiv{}  2))  +  1  in
      divisor-test(n;k';j)  \mmember{}  \{n1:\mBbbZ{}|  n1  <  n  \mwedge{}  (2  \mleq{}  n1)  \mwedge{}  (n1  |  n)\}    +  (gcd(n;iseg\_product(i;j))  =  1)


By

---

Latex:
(Assert  (i  \mleq{}  (i  +  ((j  -  i)  \mdiv{}  2)))  \mwedge{}  i  +  ((j  -  i)  \mdiv{}  2)  <  j  BY
              ((InstLemma  `div\_rem\_sum`  [\mkleeneopen{}j  -  i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}2\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (InstLemma  `rem\_bounds\_1`  [\mkleeneopen{}j  -  i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}2\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  Auto'))

---

Home Index