---

Step * 2 2 1 1 1 1 1 of Lemma efficient-exp

.....assertion..... 
1. i : ℤ
2. n : ℕ
3. ∀n1:ℕn. (∃j:{ℤ| (j = i^n1 ∈ ℤ)})
4. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. 0 ≤ (n ÷ 2)
7. n ÷ 2 < n
8. m : ℤ
9. m = (n ÷ 2) ∈ ℤ
10. j : ℤ
11. j = i^m ∈ ℤ
12. e : ℤ
13. e = j ∈ ℤ
⊢ i^n = (i^n rem 2 * i^n ÷ 2 * i^n ÷ 2) ∈ ℤ
BY
{ ((Assert 0 ≤ ((n ÷ 2) * 2) BY
          (BLemma `mul_bounds_1a` THEN Auto))
   THEN (InstLemma `exp_add` [⌜n rem 2⌝;⌜(n ÷ 2) * 2⌝;⌜i⌝]⋅ THENA Auto)
   ) }

1
1. i : ℤ
2. n : ℕ
3. ∀n1:ℕn. (∃j:{ℤ| (j = i^n1 ∈ ℤ)})
4. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. 0 ≤ (n ÷ 2)
7. n ÷ 2 < n
8. m : ℤ
9. m = (n ÷ 2) ∈ ℤ
10. j : ℤ
11. j = i^m ∈ ℤ
12. e : ℤ
13. e = j ∈ ℤ
14. 0 ≤ ((n ÷ 2) * 2)
15. i^(n rem 2) + ((n ÷ 2) * 2) = (i^n rem 2 * i^(n ÷ 2) * 2) ∈ ℤ
⊢ i^n = (i^n rem 2 * i^n ÷ 2 * i^n ÷ 2) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  i  :  \mBbbZ{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  \mforall{}n1:\mBbbN{}n.  (\mexists{}j:\{\mBbbZ{}|  (j  =  i\^{}n1)\})
4.  \mneg{}(n  =  1)
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  0  \mleq{}  (n  \mdiv{}  2)
7.  n  \mdiv{}  2  <  n
8.  m  :  \mBbbZ{}
9.  m  =  (n  \mdiv{}  2)
10.  j  :  \mBbbZ{}
11.  j  =  i\^{}m
12.  e  :  \mBbbZ{}
13.  e  =  j
\mvdash{}  i\^{}n  =  (i\^{}n  rem  2  *  i\^{}n  \mdiv{}  2  *  i\^{}n  \mdiv{}  2)


By

---

Latex:
((Assert  0  \mleq{}  ((n  \mdiv{}  2)  *  2)  BY
                (BLemma  `mul\_bounds\_1a`  THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `exp\_add`  [\mkleeneopen{}n  rem  2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(n  \mdiv{}  2)  *  2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  )

---

Home Index