---

Step * 2 2 1 1 1 1 2 2 of Lemma efficient-exp


1. i : ℤ
2. n : ℕ
3. ∀n1:ℕn. (∃j:{ℤ| (j = i^n1 ∈ ℤ)})
4. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. 0 ≤ (n ÷ 2)
7. n ÷ 2 < n
8. m : ℤ
9. m = (n ÷ 2) ∈ ℤ
10. j : ℤ
11. [%23] : j = i^m ∈ ℤ
12. e : ℤ
13. e = j ∈ ℤ
14. i^n = (i^n rem 2 * i^n ÷ 2 * i^n ÷ 2) ∈ ℤ
15. ¬((n rem 2) = 0 ∈ ℤ)
⊢ ∃j:{ℤ| (j = i^n ∈ ℤ)}
BY
{ Subst ⌜i^n rem 2 ~ i⌝ (-2)⋅ }

1
.....equality..... 
1. i : ℤ
2. n : ℕ
3. ∀n1:ℕn. (∃j:{ℤ| (j = i^n1 ∈ ℤ)})
4. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. 0 ≤ (n ÷ 2)
7. n ÷ 2 < n
8. m : ℤ
9. m = (n ÷ 2) ∈ ℤ
10. j : ℤ
11. j = i^m ∈ ℤ
12. e : ℤ
13. e = j ∈ ℤ
14. i^n = (i^n rem 2 * i^n ÷ 2 * i^n ÷ 2) ∈ ℤ
15. ¬((n rem 2) = 0 ∈ ℤ)
⊢ i^n rem 2 ~ i

2
1. i : ℤ
2. n : ℕ
3. ∀n1:ℕn. (∃j:{ℤ| (j = i^n1 ∈ ℤ)})
4. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. 0 ≤ (n ÷ 2)
7. n ÷ 2 < n
8. m : ℤ
9. m = (n ÷ 2) ∈ ℤ
10. j : ℤ
11. [%23] : j = i^m ∈ ℤ
12. e : ℤ
13. e = j ∈ ℤ
14. i^n = (i * i^n ÷ 2 * i^n ÷ 2) ∈ ℤ
15. ¬((n rem 2) = 0 ∈ ℤ)
⊢ ∃j:{ℤ| (j = i^n ∈ ℤ)}

---

Latex:

---

Latex:

1.  i  :  \mBbbZ{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  \mforall{}n1:\mBbbN{}n.  (\mexists{}j:\{\mBbbZ{}|  (j  =  i\^{}n1)\})
4.  \mneg{}(n  =  1)
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  0  \mleq{}  (n  \mdiv{}  2)
7.  n  \mdiv{}  2  <  n
8.  m  :  \mBbbZ{}
9.  m  =  (n  \mdiv{}  2)
10.  j  :  \mBbbZ{}
11.  [\%23]  :  j  =  i\^{}m
12.  e  :  \mBbbZ{}
13.  e  =  j
14.  i\^{}n  =  (i\^{}n  rem  2  *  i\^{}n  \mdiv{}  2  *  i\^{}n  \mdiv{}  2)
15.  \mneg{}((n  rem  2)  =  0)
\mvdash{}  \mexists{}j:\{\mBbbZ{}|  (j  =  i\^{}n)\}


By

---

Latex:
Subst  \mkleeneopen{}i\^{}n  rem  2  \msim{}  i\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}

---

Home Index