---

Step * 1 1 1 1 3 of Lemma equipollent-nat-list-as-product


1. f : n:ℕ ⟶ ℕ ⟶ (ℕ^n + 1)
2. h : ∀n:ℕ. ∃g:(ℕ^n + 1) ⟶ ℕ. InvFuns(ℕ;(ℕ^n + 1);f n;g)
3. λn.if (n =z 0) then <0, ⋅> else let n1,n2 = coded-pair(n - 1) in <n1 + 1, f n1 n2> fi  ∈ ℕ ⟶ (k:ℕ × (ℕ^k))
4. λp.let p1,p2 = p 
      in if (p1 =z 0) then 0 else code-pair(p1 - 1;(fst((h (p1 - 1)))) p2) + 1 fi  ∈ (k:ℕ × (ℕ^k)) ⟶ ℕ
5. x : k:ℕ × (ℕ^k)
6. let p1,p2 = x 
   in if (p1 =z 0) then 0 else code-pair(p1 - 1;(fst((h (p1 - 1)))) p2) + 1 fi  ≠ 0
⊢ let n1,n2 = coded-pair(let p1,p2 = x 
                         in if (p1 =z 0) then 0 else code-pair(p1 - 1;(fst((h (p1 - 1)))) p2) + 1 fi  - 1) 
  in <n1 + 1, f n1 n2>
= x
∈ (k:ℕ × (ℕ^k))
BY
{ (GenConclAtAddr [2;1;1;1] THEN MoveToHyp 8 6) }

1
1. f : n:ℕ ⟶ ℕ ⟶ (ℕ^n + 1)
2. h : ∀n:ℕ. ∃g:(ℕ^n + 1) ⟶ ℕ. InvFuns(ℕ;(ℕ^n + 1);f n;g)
3. λn.if (n =z 0) then <0, ⋅> else let n1,n2 = coded-pair(n - 1) in <n1 + 1, f n1 n2> fi  ∈ ℕ ⟶ (k:ℕ × (ℕ^k))
4. λp.let p1,p2 = p 
      in if (p1 =z 0) then 0 else code-pair(p1 - 1;(fst((h (p1 - 1)))) p2) + 1 fi  ∈ (k:ℕ × (ℕ^k)) ⟶ ℕ
5. x : k:ℕ × (ℕ^k)
6. v : ℤ
7. let p1,p2 = x 
   in if (p1 =z 0) then 0 else code-pair(p1 - 1;(fst((h (p1 - 1)))) p2) + 1 fi  ≠ 0
8. let p1,p2 = x in if (p1 =z 0) then 0 else code-pair(p1 - 1;(fst((h (p1 - 1)))) p2) + 1 fi  = v ∈ ℤ
⊢ let n1,n2 = coded-pair(v - 1) in <n1 + 1, f n1 n2> = x ∈ (k:ℕ × (ℕ^k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}\^{}n  +  1)
2.  h  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}g:(\mBbbN{}\^{}n  +  1)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  InvFuns(\mBbbN{};(\mBbbN{}\^{}n  +  1);f  n;g)
3.  \mlambda{}n.if  (n  =\msubz{}  0)  then  ɘ,  \mcdot{}>  else  let  n1,n2  =  coded-pair(n  -  1)  in  <n1  +  1,  f  n1  n2>  fi    \mmember{}  \mBbbN{}
      {}\mrightarrow{}  (k:\mBbbN{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}\^{}k))
4.  \mlambda{}p.let  p1,p2  =  p 
            in  if  (p1  =\msubz{}  0)  then  0  else  code-pair(p1  -  1;(fst((h  (p1  -  1))))  p2)  +  1  fi    \mmember{}  (k:\mBbbN{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}\^{}k))
      {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
5.  x  :  k:\mBbbN{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}\^{}k)
6.  let  p1,p2  =  x 
      in  if  (p1  =\msubz{}  0)  then  0  else  code-pair(p1  -  1;(fst((h  (p1  -  1))))  p2)  +  1  fi    \mneq{}  0
\mvdash{}  let  n1,n2  =  coded-pair(let  p1,p2  =  x 
                                                  in  if  (p1  =\msubz{}  0)
                                                        then  0
                                                        else  code-pair(p1  -  1;(fst((h  (p1  -  1))))  p2)  +  1
                                                        fi    -  1) 
    in  <n1  +  1,  f  n1  n2>
=  x


By

---

Latex:
(GenConclAtAddr  [2;1;1;1]  THEN  MoveToHyp  8  6)

---

Home Index