---

Step * 1 of Lemma exp-rem-property

.....assertion..... 
1. m : ℕ+
2. n : ℕ
3. ∀n:ℕn. ∀[i:ℕ]. (exp-rem(i;n;m) ~ i^n rem m)
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
6. ∀[i:ℕ]. (exp-rem(i;n ÷ 2;m) ~ i^n ÷ 2 rem m)
7. i : ℕ
⊢ i^n = (i^n rem 2 * i^n ÷ 2 * i^n ÷ 2) ∈ ℤ
BY
{ ((Assert 0 ≤ ((n ÷ 2) * 2) BY
          (BLemma `mul_bounds_1a` THEN Auto))
   THEN (InstLemma `exp_add` [⌜n rem 2⌝;⌜(n ÷ 2) * 2⌝;⌜i⌝]⋅ THENA Auto)
   ) }

1
1. m : ℕ+
2. n : ℕ
3. ∀n:ℕn. ∀[i:ℕ]. (exp-rem(i;n;m) ~ i^n rem m)
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
6. ∀[i:ℕ]. (exp-rem(i;n ÷ 2;m) ~ i^n ÷ 2 rem m)
7. i : ℕ
8. 0 ≤ ((n ÷ 2) * 2)
9. i^(n rem 2) + ((n ÷ 2) * 2) = (i^n rem 2 * i^(n ÷ 2) * 2) ∈ ℤ
⊢ i^n = (i^n rem 2 * i^n ÷ 2 * i^n ÷ 2) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}[i:\mBbbN{}].  (exp-rem(i;n;m)  \msim{}  i\^{}n  rem  m)
4.  \mneg{}(n  =  0)
5.  \mneg{}(n  =  1)
6.  \mforall{}[i:\mBbbN{}].  (exp-rem(i;n  \mdiv{}  2;m)  \msim{}  i\^{}n  \mdiv{}  2  rem  m)
7.  i  :  \mBbbN{}
\mvdash{}  i\^{}n  =  (i\^{}n  rem  2  *  i\^{}n  \mdiv{}  2  *  i\^{}n  \mdiv{}  2)


By

---

Latex:
((Assert  0  \mleq{}  ((n  \mdiv{}  2)  *  2)  BY
                (BLemma  `mul\_bounds\_1a`  THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `exp\_add`  [\mkleeneopen{}n  rem  2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(n  \mdiv{}  2)  *  2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  )

---

Home Index