---

Step * 1 2 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma implies-sum-of-two-squares


1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
3. x : ℕ
4. ∀x:ℕx. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
5. 0 < x
6. w : ℤ
7. y : ℤ
8. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. p : Prime
11. p | n
12. p | w
13. p | y
14. ¬(p | x)
⊢ (p * p) | n
BY
{ ((Assert (p * p) | (w * w) BY
          (D -3 THEN HypSubst' -3 0 THEN D 0 With ⌜c * c⌝  THEN Auto))
   THEN (Assert (p * p) | (y * y) BY
               (D -3 THEN HypSubst' -3 0 THEN D 0 With ⌜c * c⌝  THEN Auto))
   ) }

1
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
3. x : ℕ
4. ∀x:ℕx. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
5. 0 < x
6. w : ℤ
7. y : ℤ
8. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. p : Prime
11. p | n
12. p | w
13. p | y
14. ¬(p | x)
15. (p * p) | (w * w)
16. (p * p) | (y * y)
⊢ (p * p) | n

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}x:\mBbbN{}.
          (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))
3.  x  :  \mBbbN{}
4.  \mforall{}x:\mBbbN{}x
          (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))
5.  0  <  x
6.  w  :  \mBbbZ{}
7.  y  :  \mBbbZ{}
8.  (n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))
9.  \mneg{}(n  =  0)
10.  p  :  Prime
11.  p  |  n
12.  p  |  w
13.  p  |  y
14.  \mneg{}(p  |  x)
\mvdash{}  (p  *  p)  |  n


By

---

Latex:
((Assert  (p  *  p)  |  (w  *  w)  BY
                (D  -3  THEN  HypSubst'  -3  0  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}c  *  c\mkleeneclose{}    THEN  Auto))
  THEN  (Assert  (p  *  p)  |  (y  *  y)  BY
                          (D  -3  THEN  HypSubst'  -3  0  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}c  *  c\mkleeneclose{}    THEN  Auto))
  )

---

Home Index