---

Step * 2 1 of Lemma l-ordered-insert-combine


1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. cmp : comparison(T)
4. f : T ⟶ T ⟶ T
5. x : T
6. ∀u,x,y:T.  (R[u;x] ⇒ R[x;y] ⇒ R[u;y])
7. ∀u,x,y:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ R[x;y] ⇒ R[u;y])
8. ∀u,x,y:T.  (((cmp y u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ R[x;y] ⇒ R[x;u])
9. ∀u,x:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ ((cmp u (f x u)) = 0 ∈ ℤ))
10. ∀x,y:T.  (0 < cmp x y ⇒ R[x;y])
11. u : T
12. v : T List
13. (cmp x u) = 0 ∈ ℤ
14. l-ordered(T;x,y.R[x;y];v)
15. ∀y:T. ((y ∈ v) ⇒ R[u;y])
16. l-ordered(T;x,y.R[x;y];v)
17. y : T
18. (y ∈ v)
19. l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
⊢ R[f x u;y]
BY
{ xxx(FHyp (-11) [-7] THENA Auto)xxx }

1
1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. cmp : comparison(T)
4. f : T ⟶ T ⟶ T
5. x : T
6. ∀u,x,y:T.  (R[u;x] ⇒ R[x;y] ⇒ R[u;y])
7. ∀u,x,y:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ R[x;y] ⇒ R[u;y])
8. ∀u,x,y:T.  (((cmp y u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ R[x;y] ⇒ R[x;u])
9. ∀u,x:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ ((cmp u (f x u)) = 0 ∈ ℤ))
10. ∀x,y:T.  (0 < cmp x y ⇒ R[x;y])
11. u : T
12. v : T List
13. (cmp x u) = 0 ∈ ℤ
14. l-ordered(T;x,y.R[x;y];v)
15. ∀y:T. ((y ∈ v) ⇒ R[u;y])
16. l-ordered(T;x,y.R[x;y];v)
17. y : T
18. (y ∈ v)
19. l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
20. (cmp u (f x u)) = 0 ∈ ℤ
⊢ R[f x u;y]

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  R  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  cmp  :  comparison(T)
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  x  :  T
6.  \mforall{}u,x,y:T.    (R[u;x]  {}\mRightarrow{}  R[x;y]  {}\mRightarrow{}  R[u;y])
7.  \mforall{}u,x,y:T.    (((cmp  x  u)  =  0)  {}\mRightarrow{}  R[x;y]  {}\mRightarrow{}  R[u;y])
8.  \mforall{}u,x,y:T.    (((cmp  y  u)  =  0)  {}\mRightarrow{}  R[x;y]  {}\mRightarrow{}  R[x;u])
9.  \mforall{}u,x:T.    (((cmp  x  u)  =  0)  {}\mRightarrow{}  ((cmp  u  (f  x  u))  =  0))
10.  \mforall{}x,y:T.    (0  <  cmp  x  y  {}\mRightarrow{}  R[x;y])
11.  u  :  T
12.  v  :  T  List
13.  (cmp  x  u)  =  0
14.  l-ordered(T;x,y.R[x;y];v)
15.  \mforall{}y:T.  ((y  \mmember{}  v)  {}\mRightarrow{}  R[u;y])
16.  l-ordered(T;x,y.R[x;y];v)
17.  y  :  T
18.  (y  \mmember{}  v)
19.  l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
\mvdash{}  R[f  x  u;y]


By

---

Latex:
xxx(FHyp  (-11)  [-7]  THENA  Auto)xxx

---

Home Index