---

Step * 1 5 of Lemma longest-prefix_property


1. [T] : Type
2. u : T
3. u1 : T
4. v : T List
5. P : (T List) ⟶ 𝔹
6. [] ≤ [u1 / v]
7. [] < [u1 / v] supposing 0 < ||v|| + 1
8. (([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
∨ ((↑(P [u])) ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
9. if P [u] then [u] else [] fi  ≤ [u; [u1 / v]]
10. if P [u] then [u] else [] fi  < [u; [u1 / v]] supposing 0 < (||v|| + 1) + 1
⊢ ((if P [u] then [u] else [] fi  = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u; [u1 / v]] ⇒ (¬↑(P L')))))
∨ ((↑(P if P [u] then [u] else [] fi ))
  ∧ (∀L':T List. (if P [u] then [u] else [] fi  < L' ⇒ L' < [u; [u1 / v]] ⇒ (¬↑(P L')))))
BY
{ AutoSplit }

1
1. [T] : Type
2. u : T
3. u1 : T
4. v : T List
5. P : (T List) ⟶ 𝔹
6. [] ≤ [u1 / v]
7. [] < [u1 / v] supposing 0 < ||v|| + 1
8. (([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
∨ ((↑(P [u])) ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
9. if P [u] then [u] else [] fi  ≤ [u; [u1 / v]]
10. if P [u] then [u] else [] fi  < [u; [u1 / v]] supposing 0 < (||v|| + 1) + 1
11. ↑(P [u])
⊢ (([u] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u; [u1 / v]] ⇒ (¬↑(P L')))))
∨ ((↑(P [u])) ∧ (∀L':T List. ([u] < L' ⇒ L' < [u; [u1 / v]] ⇒ (¬↑(P L')))))

2
1. [T] : Type
2. u : T
3. u1 : T
4. v : T List
5. P : (T List) ⟶ 𝔹
6. ¬↑(P [u])
7. [] ≤ [u1 / v]
8. [] < [u1 / v] supposing 0 < ||v|| + 1
9. (([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
∨ (False ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
10. [] ≤ [u; [u1 / v]]
11. [] < [u; [u1 / v]] supposing 0 < (||v|| + 1) + 1
⊢ (([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u; [u1 / v]] ⇒ (¬↑(P L')))))
∨ ((↑(P [])) ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < [u; [u1 / v]] ⇒ (¬↑(P L')))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  u  :  T
3.  u1  :  T
4.  v  :  T  List
5.  P  :  (T  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
6.  []  \mleq{}  [u1  /  v]
7.  []  <  [u1  /  v]  supposing  0  <  ||v||  +  1
8.  (([]  =  [])  \mwedge{}  (\mforall{}L':T  List.  (L'  <  [u1  /  v]  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(P  [u  /  L'])))))
\mvee{}  ((\muparrow{}(P  [u]))  \mwedge{}  (\mforall{}L':T  List.  ([]  <  L'  {}\mRightarrow{}  L'  <  [u1  /  v]  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(P  [u  /  L'])))))
9.  if  P  [u]  then  [u]  else  []  fi    \mleq{}  [u;  [u1  /  v]]
10.  if  P  [u]  then  [u]  else  []  fi    <  [u;  [u1  /  v]]  supposing  0  <  (||v||  +  1)  +  1
\mvdash{}  ((if  P  [u]  then  [u]  else  []  fi    =  [])  \mwedge{}  (\mforall{}L':T  List.  (L'  <  [u;  [u1  /  v]]  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(P  L')))))
\mvee{}  ((\muparrow{}(P  if  P  [u]  then  [u]  else  []  fi  ))
    \mwedge{}  (\mforall{}L':T  List.  (if  P  [u]  then  [u]  else  []  fi    <  L'  {}\mRightarrow{}  L'  <  [u;  [u1  /  v]]  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(P  L')))))


By

---

Latex:
AutoSplit

---

Home Index