---

Step * 1 2 1 1 of Lemma proof-tree-induction


1. Sequent : Type
2. Rule : Type
3. effect : (Sequent × Rule) ⟶ (Sequent List?)
4. Q : proof-tree(Sequent;Rule;effect) ⟶ ℙ
5. ∀s:Sequent. ∀r:Rule.  Q[proof-abort(s;r)] supposing ↑isr(effect <s, r>)
6. ∀s:Sequent. ∀r:Rule.
     ∀L:proof-tree(Sequent;Rule;effect) List
       (∀pf∈L.Q[pf]) ⇒ Q[make-proof-tree(s;r;L)] supposing ||L|| = ||outl(effect <s, r>)|| ∈ ℤ 
     supposing ↑isl(effect <s, r>)
7. pf : proof-tree(Sequent;Rule;effect)
8. s : Sequent
9. r : Rule
10. x : Sequent List
11. (effect <s, r>) = (inl x) ∈ (Sequent List?)
12. ∀L:proof-tree(Sequent;Rule;effect) List. (∀pf∈L.Q[pf]) ⇒ Q[make-proof-tree(s;r;L)] supposing ||L|| = ||x|| ∈ ℤ
13. f : ℕ||x|| ⟶ proof-tree(Sequent;Rule;effect)
14. ∀b:ℕ||x||. Q[f b]
15. Q[make-proof-tree(s;r;mklist(||x||;f))]
16. x1 : case effect <s, r> of inl(subgoals) => ℕ||subgoals|| | inr(x) => Void
⊢ (f x1) = mklist(||x||;f)[x1] ∈ proof-tree(Sequent;Rule;effect)
BY
{ TACTIC:(Assert x1 ∈ ℕ||x|| BY
                (DoSubsume THEN Auto)) }

1
1. Sequent : Type
2. Rule : Type
3. effect : (Sequent × Rule) ⟶ (Sequent List?)
4. Q : proof-tree(Sequent;Rule;effect) ⟶ ℙ
5. ∀s:Sequent. ∀r:Rule.  Q[proof-abort(s;r)] supposing ↑isr(effect <s, r>)
6. ∀s:Sequent. ∀r:Rule.
     ∀L:proof-tree(Sequent;Rule;effect) List
       (∀pf∈L.Q[pf]) ⇒ Q[make-proof-tree(s;r;L)] supposing ||L|| = ||outl(effect <s, r>)|| ∈ ℤ 
     supposing ↑isl(effect <s, r>)
7. pf : proof-tree(Sequent;Rule;effect)
8. s : Sequent
9. r : Rule
10. x : Sequent List
11. (effect <s, r>) = (inl x) ∈ (Sequent List?)
12. ∀L:proof-tree(Sequent;Rule;effect) List. (∀pf∈L.Q[pf]) ⇒ Q[make-proof-tree(s;r;L)] supposing ||L|| = ||x|| ∈ ℤ
13. f : ℕ||x|| ⟶ proof-tree(Sequent;Rule;effect)
14. ∀b:ℕ||x||. Q[f b]
15. Q[make-proof-tree(s;r;mklist(||x||;f))]
16. x1 : case effect <s, r> of inl(subgoals) => ℕ||subgoals|| | inr(x) => Void
17. x1 ∈ ℕ||x||
⊢ (f x1) = mklist(||x||;f)[x1] ∈ proof-tree(Sequent;Rule;effect)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Sequent  :  Type
2.  Rule  :  Type
3.  effect  :  (Sequent  \mtimes{}  Rule)  {}\mrightarrow{}  (Sequent  List?)
4.  Q  :  proof-tree(Sequent;Rule;effect)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  \mforall{}s:Sequent.  \mforall{}r:Rule.    Q[proof-abort(s;r)]  supposing  \muparrow{}isr(effect  <s,  r>)
6.  \mforall{}s:Sequent.  \mforall{}r:Rule.
          \mforall{}L:proof-tree(Sequent;Rule;effect)  List
              (\mforall{}pf\mmember{}L.Q[pf])  {}\mRightarrow{}  Q[make-proof-tree(s;r;L)]  supposing  ||L||  =  ||outl(effect  <s,  r>)|| 
          supposing  \muparrow{}isl(effect  <s,  r>)
7.  pf  :  proof-tree(Sequent;Rule;effect)
8.  s  :  Sequent
9.  r  :  Rule
10.  x  :  Sequent  List
11.  (effect  <s,  r>)  =  (inl  x)
12.  \mforall{}L:proof-tree(Sequent;Rule;effect)  List
            (\mforall{}pf\mmember{}L.Q[pf])  {}\mRightarrow{}  Q[make-proof-tree(s;r;L)]  supposing  ||L||  =  ||x||
13.  f  :  \mBbbN{}||x||  {}\mrightarrow{}  proof-tree(Sequent;Rule;effect)
14.  \mforall{}b:\mBbbN{}||x||.  Q[f  b]
15.  Q[make-proof-tree(s;r;mklist(||x||;f))]
16.  x1  :  case  effect  <s,  r>  of  inl(subgoals)  =>  \mBbbN{}||subgoals||  |  inr(x)  =>  Void
\mvdash{}  (f  x1)  =  mklist(||x||;f)[x1]


By

---

Latex:
TACTIC:(Assert  x1  \mmember{}  \mBbbN{}||x||  BY
                            (DoSubsume  THEN  Auto))

---

Home Index