---

Step * 1 2 1 2 of Lemma sparse-signed-rep-exists


1. [n] : ℕ
2. m : ℤ
3. |m| ≤ n
4. ¬(m = 0 ∈ ℤ)
5. 0 < n
6. ∀m@0:ℤ
     ∃L:{-1..2-} List [((m@0 = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                      ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                      ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))] 
     supposing |m@0| ≤ (n - 1)
7. k : ℤ
8. r : {-2..3-}
9. [%7] : (m = ((4 * k) + r) ∈ ℤ) ∧ ((|r| = 2 ∈ ℤ) ⇒ (↑isEven(k)))
10. ∃L:{-1..2-} List [((k = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                     ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                     ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))]
⊢ ∃L:{-1..2-} List [((m = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                   ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                   ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))]
BY
{ (D -1 THEN (EvalAll (-2) THENA Auto)) }

1
1. L : {-1..2-} List
2. [n] : ℕ
3. m : ℤ
4. |m| ≤ n
5. ¬(m = 0 ∈ ℤ)
6. 0 < n
7. ∀m@0:ℤ
     ∃L:{-1..2-} List [((m@0 = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                      ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                      ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))] 
     supposing |m@0| ≤ (n - 1)
8. k : ℤ
9. r : {-2..3-}
10. [%7] : (m = ((4 * k) + r) ∈ ℤ) ∧ ((|r| = 2 ∈ ℤ) ⇒ (↑isEven(k)))
11. [%9] : (k = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ)))
⊢ ∃L:{-1..2-} List [((m = Σi<||L||.L[i]*2^i ∈ ℤ)
                   ∧ (0 < ||L|| ⇒ (¬(last(L) = 0 ∈ ℤ)))
                   ∧ (∀i:ℕ||L|| - 1. ((L[i] = 0 ∈ ℤ) ∨ (L[i + 1] = 0 ∈ ℤ))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [n]  :  \mBbbN{}
2.  m  :  \mBbbZ{}
3.  |m|  \mleq{}  n
4.  \mneg{}(m  =  0)
5.  0  <  n
6.  \mforall{}m@0:\mBbbZ{}
          \mexists{}L:\{-1..2\msupminus{}\}  List  [((m@0  =  \mSigma{}i<||L||.L[i]*2\^{}i)
                                            \mwedge{}  (0  <  ||L||  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(last(L)  =  0)))
                                            \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||L||  -  1.  ((L[i]  =  0)  \mvee{}  (L[i  +  1]  =  0))))] 
          supposing  |m@0|  \mleq{}  (n  -  1)
7.  k  :  \mBbbZ{}
8.  r  :  \{-2..3\msupminus{}\}
9.  [\%7]  :  (m  =  ((4  *  k)  +  r))  \mwedge{}  ((|r|  =  2)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isEven(k)))
10.  \mexists{}L:\{-1..2\msupminus{}\}  List  [((k  =  \mSigma{}i<||L||.L[i]*2\^{}i)
                                          \mwedge{}  (0  <  ||L||  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(last(L)  =  0)))
                                          \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||L||  -  1.  ((L[i]  =  0)  \mvee{}  (L[i  +  1]  =  0))))]
\mvdash{}  \mexists{}L:\{-1..2\msupminus{}\}  List  [((m  =  \mSigma{}i<||L||.L[i]*2\^{}i)
                                      \mwedge{}  (0  <  ||L||  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(last(L)  =  0)))
                                      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||L||  -  1.  ((L[i]  =  0)  \mvee{}  (L[i  +  1]  =  0))))]


By

---

Latex:
(D  -1  THEN  (EvalAll  (-2)  THENA  Auto))

---

Home Index