---

Step * 1 of Lemma wellfounded-llex


1. [A] : Type
2. [<] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. ∀a,b:A.  SqStable(<[a;b])
4. ∀[P:A ⟶ ℙ]. ((∀j:A. ((∀k:A. (<[k;j] ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ {∀n:A. P[n]})
5. [P] : Des(A;a,b.<[a;b]) ⟶ ℙ
6. ∀j:Des(A;a,b.<[a;b]). ((∀k:Des(A;a,b.<[a;b]). ((k llex(A;a,b.<[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
7. ∀[a:A]. ∀[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].  (descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k]) ∈ ℙ)
8. ∀[a:A]. ∀[m:Des(A;a,b.<[a;b])].  ({k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])}  ∈ Type)
⊢ {∀n:Des(A;a,b.<[a;b]). P[n]}
BY
{ (All (Unfold `guard`)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN InstHyp [⌜λ2a.∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
                        ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
                        ⇒ (∀k:{k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])} . P[m @ [a / k]]))⌝] 4⋅) }

1
.....wf..... 
1. A : Type
2. < : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. ∀a,b:A.  SqStable(<[a;b])
4. ∀[P:A ⟶ ℙ]. ((∀j:A. ((∀k:A. (<[k;j] ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ (∀n:A. P[n]))
5. P : Des(A;a,b.<[a;b]) ⟶ ℙ
6. ∀j:Des(A;a,b.<[a;b]). ((∀k:Des(A;a,b.<[a;b]). ((k llex(A;a,b.<[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
7. ∀[a:A]. ∀[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].  (descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k]) ∈ ℙ)
8. ∀[a:A]. ∀[m:Des(A;a,b.<[a;b])].  ({k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])}  ∈ Type)
9. n : Des(A;a,b.<[a;b])
⊢ λa.∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
       ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
       ⇒ (∀k:{k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])} . P[m @ [a / k]])) ∈ A ⟶ ℙ

2
.....antecedent..... 
1. [A] : Type
2. [<] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. ∀a,b:A.  SqStable(<[a;b])
4. ∀[P:A ⟶ ℙ]. ((∀j:A. ((∀k:A. (<[k;j] ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ (∀n:A. P[n]))
5. [P] : Des(A;a,b.<[a;b]) ⟶ ℙ
6. ∀j:Des(A;a,b.<[a;b]). ((∀k:Des(A;a,b.<[a;b]). ((k llex(A;a,b.<[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
7. ∀[a:A]. ∀[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].  (descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k]) ∈ ℙ)
8. ∀[a:A]. ∀[m:Des(A;a,b.<[a;b])].  ({k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])}  ∈ Type)
9. n : Des(A;a,b.<[a;b])
⊢ ∀j:A
    ((∀k:A
        (<[k;j]
        ⇒ (∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
              ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
              ⇒ (∀k@0:{k@0:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [k / k@0])} . P[m @ [k / k@0]])))))
    ⇒ (∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
          ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
          ⇒ (∀k:{k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [j / k])} . P[m @ [j / k]]))))

3
1. [A] : Type
2. [<] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. ∀a,b:A.  SqStable(<[a;b])
4. ∀[P:A ⟶ ℙ]. ((∀j:A. ((∀k:A. (<[k;j] ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ (∀n:A. P[n]))
5. [P] : Des(A;a,b.<[a;b]) ⟶ ℙ
6. ∀j:Des(A;a,b.<[a;b]). ((∀k:Des(A;a,b.<[a;b]). ((k llex(A;a,b.<[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
7. ∀[a:A]. ∀[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].  (descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k]) ∈ ℙ)
8. ∀[a:A]. ∀[m:Des(A;a,b.<[a;b])].  ({k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])}  ∈ Type)
9. n : Des(A;a,b.<[a;b])
10. ∀n:A. ∀m:Des(A;a,b.<[a;b]).
      ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
      ⇒ (∀k:{k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [n / k])} . P[m @ [n / k]]))
⊢ P[n]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [<]  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}a,b:A.    SqStable(<[a;b])
4.  \mforall{}[P:A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  ((\mforall{}j:A.  ((\mforall{}k:A.  (<[k;j]  {}\mRightarrow{}  P[k]))  {}\mRightarrow{}  P[j]))  {}\mRightarrow{}  \{\mforall{}n:A.  P[n]\})
5.  [P]  :  Des(A;a,b.<[a;b])  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}j:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((\mforall{}k:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((k  llex(A;a,b.<[a;b])  j)  {}\mRightarrow{}  P[k]))  {}\mRightarrow{}  P[j])
7.  \mforall{}[a:A].  \mforall{}[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].    (descending(a,b.<[a;b];m  @  [a  /  k])  \mmember{}  \mBbbP{})
8.  \mforall{}[a:A].  \mforall{}[m:Des(A;a,b.<[a;b])].
          (\{k:Des(A;a,b.<[a;b])|  descending(a,b.<[a;b];m  @  [a  /  k])\}    \mmember{}  Type)
\mvdash{}  \{\mforall{}n:Des(A;a,b.<[a;b]).  P[n]\}


By

---

Latex:
(All  (Unfold  `guard`)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}a.\mforall{}m:Des(A;a,b.<[a;b])
                                            ((\mforall{}L:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((L  llex(A;a,b.<[a;b])  m)  {}\mRightarrow{}  P[L]))
                                            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}k:\{k:Des(A;a,b.<[a;b])|  descending(a,b.<[a;b];m  @  [a  /  k])\} 
                                                        P[m  @  [a  /  k]]))\mkleeneclose{}]  4\mcdot{})

---

Home Index