---

Step * 2 1 2 1 of Lemma mul-polynom-val


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (mul-polynom(p;q)@l = (p@l * q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. p1 : ℤ
5. p1 ≠ 0
6. True
7. left : tree(ℤ)
8. q2 : tree(ℤ)
9. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
10. (0 + (1 + tree_size(left)) + tree_size(q2)) ≤ k
11. u : ℤ
12. v : ℤ List
13. n ≤ (||v|| + 1)
14. mul-polynom(tree_leaf(p1);left) ∈ polyform(n - 1)
15. mul-polynom(tree_leaf(p1);q2) ∈ polyform(n)
16. p1 = 1 ∈ ℤ
⊢ tree_node(left;q2)@[u / v] = (tree_leaf(p1)@[u / v] * tree_node(left;q2)@[u / v]) ∈ ℤ
BY
{ Assert ⌜tree_node(left;q2)@[u / v] ∈ ℤ⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (mul-polynom(p;q)@l = (p@l * q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. p1 : ℤ
5. p1 ≠ 0
6. True
7. left : tree(ℤ)
8. q2 : tree(ℤ)
9. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
10. (0 + (1 + tree_size(left)) + tree_size(q2)) ≤ k
11. u : ℤ
12. v : ℤ List
13. n ≤ (||v|| + 1)
14. mul-polynom(tree_leaf(p1);left) ∈ polyform(n - 1)
15. mul-polynom(tree_leaf(p1);q2) ∈ polyform(n)
16. p1 = 1 ∈ ℤ
⊢ tree_node(left;q2)@[u / v] ∈ ℤ

2
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (mul-polynom(p;q)@l = (p@l * q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. p1 : ℤ
5. p1 ≠ 0
6. True
7. left : tree(ℤ)
8. q2 : tree(ℤ)
9. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
10. (0 + (1 + tree_size(left)) + tree_size(q2)) ≤ k
11. u : ℤ
12. v : ℤ List
13. n ≤ (||v|| + 1)
14. mul-polynom(tree_leaf(p1);left) ∈ polyform(n - 1)
15. mul-polynom(tree_leaf(p1);q2) ∈ polyform(n)
16. p1 = 1 ∈ ℤ
17. tree_node(left;q2)@[u / v] ∈ ℤ
⊢ tree_node(left;q2)@[u / v] = (tree_leaf(p1)@[u / v] * tree_node(left;q2)@[u / v]) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].
              (((tree\_size(p)  +  tree\_size(q))  \mleq{}  k)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\}  ].  (mul-polynom(p;q)@l  =  (p@l  *  q@l))))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  p1  :  \mBbbZ{}
5.  p1  \mneq{}  0
6.  True
7.  left  :  tree(\mBbbZ{})
8.  q2  :  tree(\mBbbZ{})
9.  ((\muparrow{}(ispolyform(left)  (n  -  1)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(ispolyform(q2)  n)))  \mwedge{}  0  <  n
10.  (0  +  (1  +  tree\_size(left))  +  tree\_size(q2))  \mleq{}  k
11.  u  :  \mBbbZ{}
12.  v  :  \mBbbZ{}  List
13.  n  \mleq{}  (||v||  +  1)
14.  mul-polynom(tree\_leaf(p1);left)  \mmember{}  polyform(n  -  1)
15.  mul-polynom(tree\_leaf(p1);q2)  \mmember{}  polyform(n)
16.  p1  =  1
\mvdash{}  tree\_node(left;q2)@[u  /  v]  =  (tree\_leaf(p1)@[u  /  v]  *  tree\_node(left;q2)@[u  /  v])


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}tree\_node(left;q2)@[u  /  v]  \mmember{}  \mBbbZ{}\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index