---

Step * of Lemma mul-polynom_wf

∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].  (mul-polynom(p;q) ∈ polyform(n))
BY
{ ((Assert ⌜∀k:ℕ
              ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].  (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (mul-polynom(p;q) ∈ polyform(n)))⌝⋅
   THENM (Auto THEN InstHyp [⌜tree_size(p) + tree_size(q)⌝;⌜n⌝;⌜p⌝;⌜q⌝] 1⋅ THEN Auto)
   )
   THEN CompleteInductionOnNat
   THEN Auto
   THEN RepeatFor 2 (DVar `p')
   THEN RepeatFor 2 (DVar `q')
   THEN All Reduce
   THEN RecUnfold `tree_size` (-1)
   THEN Reduce -1
   THEN RecUnfold `mul-polynom` 0
   THEN Reduce 0) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].  (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (mul-polynom(p;q) ∈ polyform(n)))
3. n : ℕ
4. p1 : ℤ
5. True
6. q1 : ℤ
7. True
8. 0 ≤ k
⊢ if p1=0  then polyconst(0)  else if p1=1  then tree_leaf(q1)  else eval a = p1 * q1 in tree_leaf(a) ∈ polyform(n)

2
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].  (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (mul-polynom(p;q) ∈ polyform(n)))
3. n : ℕ
4. p1 : ℤ
5. True
6. left : tree(ℤ)
7. q2 : tree(ℤ)
8. ↑(((ispolyform(left) (n - 1)) ∧b (ispolyform(q2) n)) ∧b 0 <z n)
9. (0 + (1 + tree_size(left)) + tree_size(q2)) ≤ k
⊢ if p1=0
     then polyconst(0)
     else if p1=1
             then tree_node(left;q2)
             else eval a = mul-polynom(tree_leaf(p1);left) in
                  eval b = mul-polynom(tree_leaf(p1);q2) in
                    tree_node(a;b) ∈ polyform(n)

3
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].  (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (mul-polynom(p;q) ∈ polyform(n)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ↑(((ispolyform(left) (n - 1)) ∧b (ispolyform(p2) n)) ∧b 0 <z n)
7. q1 : ℤ
8. True
9. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + 0) ≤ k
⊢ if q1=0
     then polyconst(0)
     else if q1=1
             then tree_node(left;p2)
             else eval a = mul-polynom(left;tree_leaf(q1)) in
                  eval b = mul-polynom(p2;tree_leaf(q1)) in
                    tree_node(a;b) ∈ polyform(n)

4
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].  (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (mul-polynom(p;q) ∈ polyform(n)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ↑(((ispolyform(left) (n - 1)) ∧b (ispolyform(p2) n)) ∧b 0 <z n)
7. l1 : tree(ℤ)
8. q2 : tree(ℤ)
9. ↑(((ispolyform(l1) (n - 1)) ∧b (ispolyform(q2) n)) ∧b 0 <z n)
10. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
⊢ eval aa = mul-polynom(left;l1) in
  eval ab = mul-polynom(tree_node(left;polyconst(0));q2) in
  eval ba = mul-polynom(p2;tree_node(l1;polyconst(0))) in
  eval bb = mul-polynom(p2;q2) in
  eval mid = add-polynom(ab;ba) in
  eval bb' = add-polynom(mid;tree_node(polyconst(0);bb)) in
    tree_node(aa;bb') ∈ polyform(n)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].    (mul-polynom(p;q)  \mmember{}  polyform(n))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}k:\mBbbN{}
                        \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].
                            (((tree\_size(p)  +  tree\_size(q))  \mleq{}  k)  {}\mRightarrow{}  (mul-polynom(p;q)  \mmember{}  polyform(n)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  (Auto  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}tree\_size(p)  +  tree\_size(q)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}q\mkleeneclose{}]  1\mcdot{}  THEN  Auto)
  )
  THEN  CompleteInductionOnNat
  THEN  Auto
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `p')
  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `q')
  THEN  All  Reduce
  THEN  RecUnfold  `tree\_size`  (-1)
  THEN  Reduce  -1
  THEN  RecUnfold  `mul-polynom`  0
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index