---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma free-dl-basis


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. x : Point(free-dist-lattice(T; eq))
4. ∀s:fset(T). ({s} ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq)))
5. x ∈ fset(fset(T))
6. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider(Point(free-dist-lattice(T; eq)))
7. ∀[x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq))]. x@0 ≤ \/(λs.{s}"(x)) supposing x@0 ∈ λs.{s}"(x)
8. ∀[u:Point(free-dist-lattice(T; eq))]
     ((∀x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (x@0 ∈ λs.{s}"(x) ⇒ x@0 ≤ u)) ⇒ \/(λs.{s}"(x)) ≤ u)
9. \/(λs.{s}"(x)) ≤ x
10. \/(λs.{s}"(x)) ∈ {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
11. x@0 : fset(T)
12. x@0 ∈ x
13. {y ∈ \/(λs.{s}"(x)) | deq-f-subset(eq) y x@0} = {} ∈ fset(fset(T))
⊢ False
BY
{ (RenameVar `z' (-3)
   THEN (InstLemma `fset-filter-is-empty` [⌜fset(T)⌝;⌜deq-fset(eq)⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" (-2) THENA Auto)
   THEN D -2
   THEN Reduce 0
   THEN With ⌜z⌝ (D 0)⋅
   THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. x : Point(free-dist-lattice(T; eq))
4. ∀s:fset(T). ({s} ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq)))
5. x ∈ fset(fset(T))
6. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider(Point(free-dist-lattice(T; eq)))
7. ∀[x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq))]. x@0 ≤ \/(λs.{s}"(x)) supposing x@0 ∈ λs.{s}"(x)
8. ∀[u:Point(free-dist-lattice(T; eq))]
     ((∀x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (x@0 ∈ λs.{s}"(x) ⇒ x@0 ≤ u)) ⇒ \/(λs.{s}"(x)) ≤ u)
9. \/(λs.{s}"(x)) ≤ x
10. \/(λs.{s}"(x)) ∈ {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
11. z : fset(T)
12. z ∈ x
13. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹]. ∀[s:fset(fset(T))].  uiff({x ∈ s | P[x]} = {} ∈ fset(fset(T));¬(∃x:fset(T). (x ∈ s ∧ (↑P[x]))))
⊢ z ∈ \/(λs.{s}"(x))

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. x : Point(free-dist-lattice(T; eq))
4. ∀s:fset(T). ({s} ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq)))
5. x ∈ fset(fset(T))
6. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider(Point(free-dist-lattice(T; eq)))
7. ∀[x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq))]. x@0 ≤ \/(λs.{s}"(x)) supposing x@0 ∈ λs.{s}"(x)
8. ∀[u:Point(free-dist-lattice(T; eq))]
     ((∀x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (x@0 ∈ λs.{s}"(x) ⇒ x@0 ≤ u)) ⇒ \/(λs.{s}"(x)) ≤ u)
9. \/(λs.{s}"(x)) ≤ x
10. \/(λs.{s}"(x)) ∈ {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
11. z : fset(T)
12. z ∈ x
13. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹]. ∀[s:fset(fset(T))].  uiff({x ∈ s | P[x]} = {} ∈ fset(fset(T));¬(∃x:fset(T). (x ∈ s ∧ (↑P[x]))))
14. z ∈ \/(λs.{s}"(x))
⊢ z ⊆ z

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  x  :  Point(free-dist-lattice(T;  eq))
4.  \mforall{}s:fset(T).  (\{s\}  \mmember{}  Point(free-dist-lattice(T;  eq)))
5.  x  \mmember{}  fset(fset(T))
6.  deq-fset(deq-fset(eq))  \mmember{}  EqDecider(Point(free-dist-lattice(T;  eq)))
7.  \mforall{}[x@0:Point(free-dist-lattice(T;  eq))].  x@0  \mleq{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  supposing  x@0  \mmember{}  \mlambda{}s.\{s\}"(x)
8.  \mforall{}[u:Point(free-dist-lattice(T;  eq))]
          ((\mforall{}x@0:Point(free-dist-lattice(T;  eq)).  (x@0  \mmember{}  \mlambda{}s.\{s\}"(x)  {}\mRightarrow{}  x@0  \mleq{}  u))  {}\mRightarrow{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  \mleq{}  u)
9.  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  \mleq{}  x
10.  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  \mmember{}  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
11.  x@0  :  fset(T)
12.  x@0  \mmember{}  x
13.  \{y  \mmember{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  |  deq-f-subset(eq)  y  x@0\}  =  \{\}
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
(RenameVar  `z'  (-3)
  THEN  (InstLemma  `fset-filter-is-empty`  [\mkleeneopen{}fset(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  D  -2
  THEN  Reduce  0
  THEN  With  \mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index